Lecture 19：特征值与特征向量
考研数学学习笔记：Lecture 19：特征值与特征向量。保留原始公式、图示与例题。
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19.1 特征值与特征向量定义
19.1.1 基本概念
定义： #特征值与特征向量
<font color="#ccc1d9">描述： $设A是n阶矩阵,\lambda 是一个数,若存在n维非零列向量\xi,使得：$
$$A\xi=\lambda\xi$$
则称：
1. $\lambda$ 为特征值；
2. $\xi$ 是 A 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量；
解释
- 特征：
- 反应 A 矩阵的某一个性质；
- 解释：特征值
- 比如 A 是一个矩阵时，当 A 作用到一个向量上时，其结果可以用一个数来表示（用一个数来对这个向量进行放缩），此时这个数就是特征值；
- 在空间上，可以体现空间中的最值、相近等性质；
- 概念：
n阶的矩阵，就会有n个特征值，通过看这一个数、就可以知道A矩阵的某些特性；- 解释：$\xi$
- $\xi$ 一定是不等于 0 的；
- 因为如果 $\xi$ 等于 0，则表示当前矩阵只有唯一零解，即
S=r(A)，此时将 A 作用在 $\xi$ 上是，体现不出来 A 的作用，因为矩阵作用在零向量上还是 0，因此在这里 $\xi$ 是非零向量； - 能体现出来效果，这样才能知道特征值的作用；
- 含义：
分析：对 $A\xi=\lambda\xi$ 进行分析
- 步骤：
->$\lambda\xi-A\xi=0$ // $\xi$ 为非零向量->$(\lambda E-A)\xi=0$ // 提取公因式->$(\lambda E-A)X=0$- // 把 $\xi$ 设置为是当前方程组的解；
- // 因为
X是 $\xi$，而 $\xi$ 是非零向量，而当前式子等于 0->也就代表当前的方程是齐次方程； - // 因为是齐次方程，所以当前矩阵 $\lambda E-A$ 是线性相关的
<-线性相关定理 4：Lecture 11：向量与向量组的线性相关性； - // 因为 $\lambda E-A$ 是线性相关的，所以当前方程组
S=n-r(A)<n，即方程的秩小于 n； - // 根据 $n\text{个}n\text{维列向量}a_1,a_2,\cdots,a_n\text{线性相关}\Leftrightarrow\left|a_1,a_2,\cdots,a_n\right|=0$ ，所以得到 $|\lambda E-A|=0$
->$|\lambda E-A|=0$- // 这里可以求出 $\lambda_i(i=1,2,3...)$
- 图示：
定义： #特征方程
<font color="#ccc1d9">描述： $$\begin{vmatrix}\lambda E-A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}=0$$
解释
- $|\lambda E-A|$：称之为特征方程
19.1.2 几何解释
概念：特征值与特征向量的几何解释
- 概念：
- 在基向量被变换后，有一些解变换后以及变换前只对应于比例的变换，而角度位置未发生改变；
- 用于描述特征向量的变换比例的值，称之为特征值；
- 特征向量就是那些在变换后、依然停留在原本的直线上的向量；
- 图示：
概念：特征值为负值时
- 图示：
19.2 求法
19.2.1 求特征值与特征向量的方法
方法：求特征值
- 第一步：写特征方程 $|\lambda E-A|$
- $A=\begin{bmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{bmatrix}$
- $|\lambda E-A|=\left|\begin{matrix}\lambda-2&-2&2\\-2&\lambda-5&4\\2&4&\lambda-5\end{matrix}\right|$
- 第二步：计算特征方程的行列式，得到关于 $\lambda$ 的方程；
- 最后肯定会得到一个类似于 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 的方程，然后化成求根的形式；
- 第三步：求出几个特征根；
方法：求特征向量
- 第一步：将求得的特征值带入到 $(\lambda E-A)=0$ 的 $\lambda$ 当中，得到 $\lambda E-A$ 的矩阵；
- 第二步：求秩以及基础解系
- 2.1 将得到的矩阵化为阶梯型矩阵，得到秩后，根据
S=n-r(A)，计算其基础解系（受约束自由变量的S个向量）； - 这
S个解出来的向量，构成了解的空间，这个二维平面上的所有向量、都是当前代入得 $\lambda_i$ 对应得特征向量； - 除了零向量；
- 2.2 如果不能根据化简得到阶梯型矩阵，还可以根据
行列式=0对秩得限制、以及当前矩阵 $\lambda E-A$ 中无关项向量得个数，知道其当前得秩，并得到其极大无关组； - 第三步：根据第二步，得到当前 $\lambda=某个值$ 时，得到 $\xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2$
- 其中看
k1、k2不能同时为 0； - 第四步：如果还有其他 $\lambda_i$，继续按照以上步骤求特征向量 $\xi$；
19.2.2 求根
补充：找根方法
- 如果在 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 当中没有常数项，则 $\lambda=0$ 肯定是它得根；
- 如果 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 其中，$a+b+c=0$，则 $\lambda =1$ 肯定是它们得根： $(\lambda -1)$
- 如果 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 中偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 $f(-1)=0$，所以 $-1$ 是它的根；
方法：试根法
- 概念：
- 利用找根方法得到某一个根之和，使用多项式得带余除法，计算器二次项式；
- 举例：
$$
\begin{aligned}
\lambda^{2}-2\lambda-8 \\
\begin{aligned}\lambda-1\sqrt{\lambda^{3}-3\lambda^{2}-6\lambda+8}\\\frac{\lambda^{3}-\lambda^{2}}{-2\lambda^{2}-6\lambda}\end{aligned} \text{.} \\
\frac{-2\lambda^{2}+2\lambda}{-8\lambda+8} \\
\frac{-8\lambda+8}{0}
\end{aligned}
$$
定理： #多项式求根
<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：设以下式子是系数 $a_i$ 都是整数的多项式： $$f\left(x\right)=1·x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$$
则 $f(x)=0$ 的有理根都是整数，且 $a_0$ 的因子；
解释
- 方程的解是 $a_0$ 的因子
- 因此可以先框定它的因子，然后知道了因子后、就确定了它的范围；
19.3 重要性质与结论
19.3.1 特征值的性质与结论
概念：性质一
- $$\lambda_0是A的特征值<=>|\lambda_0 E-A|=0(建立方程求参数或证明行列式|\lambda_0 E-A|=0$$
- 同理：$$\lambda_0\text{不是}A\text{ 的特征值}\Leftrightarrow|\lambda_0E-A|\neq0\text{(矩阵可逆,满秩)}$$
- 补充：
- 若 $|aA+bE|=0$（或者 $aA+bE$ 不可逆），
a不等于 0，则称 $-\frac{b}{a}$ 是A的特征值；
概念：性质二
- 性质：
- 若 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\text{是}A\text{的}n\text{个特征值,则}$：
- $$\begin{cases}\left|A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n},\\\mathrm{tr}\left(A\right)=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}.\end{cases}$$
- 结论一：
- 1. 有特征值为
0的矩阵，其行列式一定为0 - 2. $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}$ 特征值的和，等于当前矩阵
A的主对角线元素之和tr(A) - 结论二：基于结论一和证明
- 由式子（1）和式子（2）可得：
- $$\begin{cases}a_{11}+a_{22}+a_{33}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3},\\A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{1}\lambda_{2},\\\left|A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}.\end{cases}$$
- 且
k阶主子式之和 = 任意k个特征值乘积之和； - 证明：三阶时，用行列式的性质、把 $|\lambda_0 E-A|$ 拆成了一个一元三次多项式；
- $$式子(1)\quad|\lambda_0 E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&-a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&0-a_{12}&0-a_{13}\\0-a_{21}&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\0-a_{31}&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}=\lambda^{3}-\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}\right)\lambda^{2}+\left(A_{11}+A_{22}+A_{33}\right)\lambda-\left|A\right|$$
- $$式子(2)\quad\left|\lambda E-A\right|=\left(\lambda-\lambda_1\right)\left(\lambda-\lambda_2\right)\left(\lambda-\lambda_3\right)=\lambda^3-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\lambda^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)\lambda-\lambda_1\lambda_2\lambda_3$$
- 补充：主子式
- 主子式一定是行列式，并且最左上方和最右下方的元素的下标一定是相同的
<-同行同列的； - 三维时，一共有三个主子式：$\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=A_{11},\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}=A_{22},\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=A_{33}$
19.3.2 特征向量的性质与结论
概念：性质一
- $$\xi\left(\neq\mathbf{0}\right)\text{是}A\text{ 的属于 }\lambda_0\text{ 的特征向量}\Leftrightarrow\xi\text{是}\left(\lambda_0E-A\right)x=\mathbf{0}\text{ 的非零解}$$
概念：结论一
k重特征值 $\lambda$，至多只有k个线性无关的特征向量；
概念：结论二
- $若\xi_1,\xi_2$ 是
A的属于不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特征向量，则 $\lambda_1,\lambda_2$ 线性无关；
总结：$\text{矩阵}A\begin{cases}\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\Rightarrow\xi_{1},\xi_{2}\text{线性无关}\\\lambda_{1}=\lambda_{2}\Rightarrow\xi_{1},\xi_{2}\text{可能}\begin{cases}\text{线性相关}\\\text{线性无关}\end{cases}\end{cases}$
概念：结论三
- $\text{若}\xi_1,\xi,\text{是}A\text{ 的属于同一特征值}\lambda\text{的特征向量,则非零向量}k\xi_1+k_2\xi_2\text{仍是}A\text{ 的属于特征值}\lambda\text{的}$ 特征向量. (常考其中一个系数 (如 $k_2$)等于
0的情形)；
概念：结论四
- $\text{若}\xi_1,\xi_2\text{是}A\text{ 的属于不同特征值}\lambda_1,\lambda_2\text{的特征向量,则当}k_1\neq0,k_2\neq0\text{时,}k_1\xi_1+k_2\xi_2\text{不是}A\text{ }$ 的任何特征值的特征向量. ( 常考 $k_1=k_2=1$ 的情形)
概念：结论五
- 设 $\lambda_1,\lambda_2$ 是 A 的两个不同的特征值，$\xi$ 是对应于 $\lambda_1$ 的特征向量，则 $\xi$ 不是对应于 $\lambda_2$ 的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）
19.3.3 常用矩阵的特征值与特征向量
总结：常用矩阵的特征值与特征向量
- 图示：
概念：矩阵为 $f(A)$
- 重要公式 - 当
A是一个多项式等于0 - 公式：
- $$A\xi=\lambda \xi \rightarrow f(A)\xi=f(\lambda)\xi$$
- 证明：
- 比如：$A^2\xi=\lambda A\xi=\lambda^2\xi$
- 举例：
- 当 $A^2-2A+3E$ 的 $\lambda$：$\lambda^2-2\lambda+3$
- 注意：
- 由 $A$ 的多项式，获得的关于 $\lambda$ 的方程，只是代表了在当前 A 的多项式条件下、$\lambda$ 可能的取值（满足什么关系、范围 ），而不代表当前特征方程的不同 $\lambda$；
概念：矩阵为 $A^*$
- 公式：
- 当矩阵为 $A^*$ 时，其特征值等于 $\frac{|A|}{\lambda}$；
- 并且因为 $|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$，所以 $\frac{|A|}{\lambda}=\lambda_1\lambda_2或\lambda_1\lambda_3或\lambda_2\lambda_3$
补充：$P^{-1}AP$ 时，其特征值没发生变化 -> 相似；但特征向量发生了变化：$P^{-1}\xi$；
概念：秩 1 矩阵的结论
- 当
r(A)=1时，矩阵 $A_{n*n}$ 一定可以化为两个非零行列向量：$\alpha\beta^{T}$ 它们两者的乘积； - 并且：$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=...=\lambda_{n-1}=0$
- 并且：$\lambda_n=tr(A)=\beta^T\alpha$