Lecture 20：相似

20.1 矩阵相似

20.1.1 相似矩阵的定义

定义： #矩阵相似

<font color="#ccc1d9">描述：设 A, B 是两个 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 A 相似于 B，记成 A~B

解释

• 概念：
• 如果假设都是方阵；
• 等价矩阵： PAQ=B `<-` 同型矩阵：P 和 Q 两个矩阵没有关系；
• 相似矩阵：$P^{-1}AP=B$ <- 等价矩阵：P 和 P 逆，两者夹击产生的效果得到 B ；
• -> 所以相似的矩阵肯定也是等价的矩阵
• 公式：
• A~A：反身性
• 若 A~A，则 B~A：对称性
• 若 A~B,B~C，则 A~C：传递性 -> 证明 A~C，可以先求 A 到 B、再求 B 到 C，也就得到了 A 到 C；
• 补充：
• 所有的矩阵，都有一个最理想的矩阵和其相似 <-> 传递性；

补充：相似矩阵与 $A^{-1}MA$

• 意义：
• $A^{-1}MA$ 表达式暗示着数学上的转移作用；
• 中间的矩阵代表了一种你见过的变换，外侧的两个矩阵代表转移作用，也就是视角的上的变换；
• 矩阵乘积仍然代表着同一个变换，只不过是从其他人的角度来看的 -> 矩阵 A 和 B 相似，但基向量不同；
• 图示：
• 

20.1.2 相似矩阵的性质

概念：相似矩阵的六大性质

• 注意：
• 以上六条条件是矩阵相似的必要条件，只要其中一个不满足，则两个矩阵不相似；
• 但是，即使 1~6 全成立，也不能说 A 相似于 B；
• 补充：
• 概念：
• 在进行相似变换时，其不变量是"各阶主子式之和"；
• 举例：
• $A=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}$，其二阶主子式之和为 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=1+1+1=3$
• $B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}$，其二阶主子式之和为 $\widetilde{A}_{11}+\widetilde{A}_{22}+\widetilde{A}_{33}=1+2+1=4$
• 故 A 和 B 不相似；

20.1.3 相似矩阵的重要结论

概念：结论一

• $$若A\sim B,则A^{k}\sim B^{k},f\left(A\right)\sim f\left(B\right)\left(\text{其中}f\left(x\right)\text{是多项式}\right)$$

概念：结论二

• $$若A\sim B,且A可逆,则A^{-1}\sim B^{-1},f\left(A^{-1}\right)\sim f\left(B^{-1}\right)\left(\text{其中}f\left(x\right)\text{是多项式}\right)$$

概念：结论三

• $$若A\sim B,且A可逆,则A^\sim B^$$

概念：结论四

• $$若A\sim B,且A可逆,则A^T\sim B^T$$

概念：结论五

• $$若A\sim C,B\sim D,则\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}C&O\\O&D\end{bmatrix}$$

分析：结论 1~3

• 因为从 A -> B 的手段，在 1~3 当中是一致的，所以它们的组合：$aA^{*}+bA^{-1}+cf\left(A\right)$ 加上 $P^{-1}$ 和 $P$ 后：
• $$P^{-1}(aA^{}+bA^{-1}+cf\left(A\right))P=aB^{}+bB^{-1}+cf\left(B\right)$$

分析：结论 4

• $A\sim B,则存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=B,两边取转置,有P^TA^T(P^{-1})^T=B^T$
• $P^{T}A^{T}\left(P^{T}\right)^{-1}=B^{T},故A^{T}\sim B^{T}.由此可知，$ $A^{\mathrm{T}}与B^{T}相似的手段与(1)\sim(3)不同.$

20.1.4 两个矩阵相似的判别与证明

方法：定义法

• $\text{若存在可逆矩阵}P,\text{使得}P^{-1}AP=B,\text{则}A\sim B.$

方法：利用传递性

• 若 A~V，V~B，则 A~B

方法：使用性质

• 使用性质只能否定 A、B 的相似性，不能证明其相似；
• 补充：
• 可在 A~B 的条件下, 用性质反求参数, 但如前所述, 所有的性质都只是 A~B 的必要条件

20.2 矩阵的相似对角化

20.2.1 基础概念

定义： #矩阵的相似对角化

<font color="#ccc1d9">描述： 设 n 阶矩阵 A，若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$，则其中的 $\Lambda$ 是对角矩阵，并且称 A 可相似对角化，记作 $A\sim\Lambda$，并称 $\Lambda$ 为 A 的相似标准型；

A 可以相似对角化、最本质的定义是：A 有 n 个线性无关的特征向量；

概念：图形解释

概念：相似对角化的条件 - 结论一

• -> 假设：A 可以相似对角化
• -> 存在可逆矩阵 P ，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$
• -> 存在可逆矩阵 $P=(\xi_1,\xi_2)$，使得 $AP=P\Lambda$
• -> 存在可逆矩阵 $P=(\xi_1,\xi_2)$，使得 $A(\xi_1,\xi_2)=(\xi_1,\xi_2)\Lambda$
• -> 存在可逆矩阵 $P=(\xi_1,\xi_2)$，使得 $(A\xi_1,A\xi_2)=(\lambda\xi_1,\lambda\xi_2)$
• -> 存在可逆矩阵 $P=(\xi_1,\xi_2)$，使得 $A\xi_i=\lambda\xi_i$
• -> 所以得到特征值和特征向量：$A\xi_i=\lambda\xi_i$
• -> 组成 P 的列向量就是特征向量
• -> 结论：
• 1. A 有 n 个线性无关的特征向量；
• 2. $P=[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]$
• 3. $\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$
• 4. $$P^{-1}AP=\Lambda \quad\quad\rightarrow\quad\quad [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]^{-1}A[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$$
• 这是充要条件；

概念：相似对角化的条件 - 结论二

• 结论：如果 n 阶矩阵 A 可以相似对角化 $\rightarrow$ $A$ 对应于每个 $k_i$ 重特征值都有 $k_i$ 个线性无关的特征向量；
• 这是充要条件；

概念：相似对角化的条件 - 结论三

• 结论：如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同特征值 $\rightarrow$ A 可以相似对角化；
• -> 全都是单根，自带线性无关，所以可以相似对角化；
• 这是充分条件

概念：相似对角化的条件 - 结论四

• 结论：如果 n 阶矩阵 A 为实对称矩阵 $\rightarrow$ A 可以相似对角化；
• 这是充分条件

概念：其他相似的重要结论

• 结论 - 如果 $A\sim\Lambda$，则 $P$ 中的每一列、都是 A 矩阵的特征向量，并且这些特征向量必然是线性无关的；
• 结论 - 如果 $A\xi_i=\lambda_i\xi_i$，$\xi_i(i=1,2,3)$ 构成 $\Lambda$，则 $A\sim\Lambda$
• 结论：自产自销
• 只要给出一个矩阵 A，其满足有 $\lambda$ 以及 $\xi$，并且其有 n 个线性无关的特征向量，则 $P^{-1}AP=\Lambda$，$P=(\xi_1,\xi_2...\xi_n)$

20.2.2 相似对角化的求解

方法：基于 $P^{-1}AP=\Lambda$，求 P 步骤

• 步骤：
• 1. 因为 $|\lambda E-A|=0$ ，写出行列式 $|\lambda E-A|$，求出 $A$ 的 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,...\lambda_i$
• 2. 求：对应的 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,...\lambda_i$ 下时，A 的阶梯型矩阵，并由此求出 A 的特征向量 $\xi_1,\xi_2...\xi_i$
• 3. 根据特征向量与特征值的性质，判断当前特征向量是否是 n 个线性无关的向量，如果是的话，把解出的 $\xi_i$ 拼在一起得到 $P$：
• $P^{-1}AP=\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$
• 注意：
• $\text{需要注意的是,}P\text{中特征向量}\boldsymbol{\xi}_i\text{与}A\text{中特征值}\lambda_i\text{对应,且}P\text{没有唯一性 }.$

方法：由特征值、特征向量反求 $A$

• 方法：
• $\text{若有可逆矩阵}P\text{,使得}P^{-1}AP=A\text{,则}A=PAP^{-1}\text{,这是反求}A\text{ 的一个基本思路 }.$
• 举例：
• -> $(\xi_{1},\xi_{2})^{-1}A(\xi_{1},\xi_{2})=(\begin{matrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{matrix})$
• -> $A=(\xi_{1},\xi_{2})(\begin{matrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{matrix})(\xi_{1},\xi_{2})^{-1}$

方法：求 $A^k$ 和 $f(A)$

• -> $$P^{-1}A^kP=A^k, A^k=PA^kP^{-1}=P\begin{bmatrix}\lambda_1^k&&&&\\&\lambda_2^k&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n^k\end{bmatrix}P^{-1}$$
• -> $$P^{-1}f(A)P=f(A), f(A)=Pf(A)P^{-1}=P\begin{bmatrix}f(\lambda_1)&&&\\&f(\lambda_2)&&\\&&\ddots&\\&&&f(\lambda_n)\end{bmatrix}P^{-1}.$$

补充：在可逆矩阵中使用不可逆矩阵的性质

• 若 $|A|=0\rightarrow|0·E+A=0|\rightarrow\lambda_1=0\quad(至少一个)\rightarrow A不可逆$
• $|A^{*}|\rightarrow |A|^{n-1}$ 这个是由 $A^{-1}$ 存在而推出来的；
• 其他：
• $|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 的前提是 A 可逆；
• 的前提是 A 可逆；$\left(AB\right)^{}=B^{}A^{*}$ 的前提是 A,B 可逆；
• 不可逆时：
• 假设 A 有三重根，一个特征值 1；
• 如果现在在 A 前面加上 E：+E+A；
• 所以：$|(tE+A)^{*}|=|tE+A|^{n-1}.$
• 当 $t\rightarrow 0^+$，原来的 t 特征值一定不 0，都是关于 t 的连续函数 -> $|A^{*}|=|A|^{n-1}$；
• 即：$|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 对于可逆、不可逆都是成立的；

20.2.3 举例

例题：一下选项中哪些不能相似于对角矩阵：

• 题目：
• $$\begin{aligned}\left(A\right)A=&\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}&(\mathbf{B}) \boldsymbol{B}=&\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{bmatrix}\\(\mathbf{C})\boldsymbol{C}=&\begin{bmatrix}1&-2&1\\2&-4&2\\1&-2&1\end{bmatrix}&(\mathbf{D})\boldsymbol{D}=&\begin{bmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{bmatrix}\end{aligned}$$
• 分析
• A 很明显对称，所以 A 相似于对角矩阵；
• B 有明显的台阶，并且刚好是三个互不相同的特征值，所以如果三个单根分别对应特征值，所以一定相似对角化；
• C 是一个秩一矩阵，所以一个两重跟，一个单根，需要分别判断他们对应的特征向量个数。而 C 选项的重根数等于其线性无关特征向量个数，所以 C 相似于对角矩阵；
• 解析

20.3 实对称矩阵的相似对角化

20.3.1 实对称矩阵

定义： #实对称矩阵

<font color="#ccc1d9">描述：若 $A^T=A$ ，则 A 为对称矩阵。如果组成 A 的元素都是实数，则 A 为实对称矩阵；

（1）A 是实对称矩阵，则 A 的特征值是实数，特征向量是实向量 (不用证明)；

（2）实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，即：$A\begin{cases}\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\Rightarrow\xi_{1}\perp\xi_{2},\\\lambda_{1}=\lambda_{2}\xrightarrow{可能}\begin{cases}\xi_{1}\perp\xi_{2},\\\xi_{1}与\xi_{2}无关\end{cases}\end{cases}$

（3）对于任意的 n 阶实对称矩阵 A，存在 n 阶正交矩阵 Q，使得：$Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$ ，这里 $\lambda_i$ 是 A 的全部特征值；

解释

• 解释（2）：
• 对于实对称矩阵，无论其特征值是否相等，$\xi$ 都是线性无关 -> 因此实对称矩阵，一定可以相似对角化；
• 解释（3）：
• 回顾：A 有 n 个线性无关 -> A~$\Lambda$ -> $[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]^{-1}A[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$
• 对称矩阵因为无条件就可以得到 $A\sim\Lambda$，因此就一定可以得到 $[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]^{-1}A[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$ 这种局面；
• 并且对称矩阵还能得到 $[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]^{T}A[\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n]=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$ 这种局面；
• 补充：正交矩阵
• $Q^T=Q^{-1}$
• $Q^TQ=E$
• Q 由标准正交基组成 <- 可以通过正交化、单位化，来得到正交矩阵；
• 不存在正交阵使得 $Q^TAQ=\Lambda$

20.3.2 实对称矩阵相似对角化基本步骤

方法：若 A 为 n 阶实对称矩阵，则其用正交矩阵 Q 相似对角化的基本步骤如下：

• $$\begin{aligned}&\left(1\right)\text{求}A\text{的特征值}\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n.\\&\left(2\right)\text{求}A\text{的对应于特征值}\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\text{的特征向量}\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n.\\&\left(3\right)\text{将}\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}\text{正交化(若需要的话)、单位化为}\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n}.\\&\left(4\right)\text{令}Q=\left[\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n}\right],\text{则}Q\text{为正交矩阵,且}Q^{-1}AQ=Q^{\mathrm{T}}AQ=A\end{aligned}$$