Lecture 21：二次型的定义与矩阵表示

21.1 二次型的定义与矩阵表示

定义：二次型

含有 $n$ 个变量的二次齐次多项式称为二次型。通常写成：

\begin{aligned} f(x_1,x_2,\ldots,x_n) &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\ &=x^{\mathrm T}Ax, \end{aligned}

其中

A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad x= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}.

解释

同一个二次型可以由不同的非对称矩阵表示；为保证矩阵表示唯一，通常约定 $A$ 为实对称矩阵。
当 $A$ 为对称矩阵时，多项式中交叉项 $x_ix_j\ (i\ne j)$ 的系数为 $2a_{ij}$。
二次型的秩定义为其唯一对称矩阵 $A$ 的秩，即 $\operatorname{rank}(f)=\operatorname{rank}(A)$。
非对称表示示例：
$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2$；
$f(x)=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$。
对称表示示例：
$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3+2x_1x_3$；
$f(x)=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$。

21.2 合同变换

21.2.1 可逆线性变换

定义：线性变换

对 $n$ 元二次型 $f(x)=x^{\mathrm T}Ax$，作线性变换 $x=Cy$：

\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n \end{bmatrix}.

若 $C$ 可逆，即 $\det C\ne0$，则称 $x=Cy$ 为可逆线性变换。代入二次型可得

f(Cy)=(Cy)^{\mathrm T}A(Cy) =y^{\mathrm T}(C^{\mathrm T}AC)y =y^{\mathrm T}By =g(y),

其中 $B=C^{\mathrm T}AC$。

21.2.2 矩阵合同的定义与性质

定义：合同二次型

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵。若存在可逆矩阵 $C$，使

C^{\mathrm T}AC=B,

则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A\cong B$；对应的二次型 $f(x)$ 与 $g(y)$ 也称为合同二次型。

解释

合同变换就是对二次型作可逆线性换元。
对实对称矩阵，合同保持对称性、秩以及正负惯性指数不变。
因为可逆矩阵左乘、右乘都不改变秩，所以 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$。
若 $A=A^{\mathrm T}$，则

B^{\mathrm T} =(C^{\mathrm T}AC)^{\mathrm T} =C^{\mathrm T}A^{\mathrm T}C =C^{\mathrm T}AC =B.

原始例图：

21.3 二次型的标准型与规范型

21.3.1 定义

定义：标准型

只含平方项、不含交叉项的二次型称为标准型：

d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2.

在实数范围内，再通过非零变量伸缩，可以把所有非零系数化为 $1$ 或 $-1$，得到规范型：

y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2.

其余变量的系数为零。根据惯性定律，正平方项个数 $p$ 与负平方项个数 $q$ 在合同变换下保持不变，因此规范型在变量排列意义下唯一。

21.3.2 配方法与正交变换

定理：配方法

任意实二次型 $f(x)=x^{\mathrm T}Ax$ 都可以通过可逆线性变换 $x=Cy$ 化为标准型；进一步伸缩变量即可化为规范型。用矩阵语言表示，就是存在可逆矩阵 $C$ 使

C^{\mathrm T}AC = \begin{bmatrix} d_1&&&\\ &d_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&d_n \end{bmatrix}.

这里的 $C$ 一般不是正交矩阵，所以 $C^{\mathrm T}$ 不一定等于 $C^{-1}$；合同对角化也不一定同时是相似对角化。

定理：正交变换法

若 $A$ 为实对称矩阵，则由实对称矩阵的谱定理，存在正交矩阵 $Q$，使

Q^{-1}AQ =Q^{\mathrm T}AQ =\Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{bmatrix}.

因此正交变换 $x=Qy$ 可以把二次型化为标准型。$Q$ 不一定唯一；$\Lambda$ 的对角元是 $A$ 的特征值，其排列次序可以改变。此时 $A$ 与 $\Lambda$ 既合同又相似。