Lecture 22：化二次型为标准型与规范型

22.1 惯性定理

概念：惯性定理

• 无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数 p，负项个数 q 都是不变的；
• 其中 p 称之为正惯性指数；
• 其中 q 称之为负惯性指数；
• 且：若二次型的秩为 $r$，则 $r=p+q$；可逆线性变换不改变正、负惯性指数。

概念：两个二次型 (或实对称矩阵)合同的充要条件

• 概念：
• 两个二次型 (或实对称矩阵) 合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数；等价地，它们有相同的秩及相同的正惯性指数 (或负惯性指数)。
• 正交矩阵下：
• 两个矩阵有相同的正、负特征值的个数；

22.1 两种二次型方法区别

总结：两种方法的区别

• 对于函数 $f=x^TAx$ 有两种变换：
• （1）配方法；
• 可逆线性变换：$x=Cy$；
• 对 C 的唯一要求，就是 C 可逆；
• 通过 $x=Cy$ ，得到合同对角阵；
• （2）正交变换法
• 也是要求可逆；
• 这里面也是设置 $x=Qy$，但 Q 不仅仅可逆，而且 Q 的逆还等 Q 转置；
• 所以：$f$ 通过 $x=Qy$ 得到的结果是 $Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$
• 区别：相似和合同
• 当 A 是对称阵时；
• 配方和正交都是可逆的；
• 但配方法不一定满足逆等于转置；
• 所以 $x=Cy$ 里面的 C 不一定是特征向量；
• 正交配方法下更特殊，C 里面都是特征向量，$\Lambda$ 里面都是特征值；
• 注意：相同点
• 它们的正、负惯性指数相同 -> 无论用哪种方法，得到的正系数和负系数的个数都相同；

概念：合同矩阵与正、负惯性指数

• 概念：
• 合同变换中的不变量是正、负惯性指数；
• 所以 A 合同于 B 的充要条件，就是 $p_A=p_B$ 且 $q_A=q_B$
• 实对称矩阵：
• 两个实对称矩阵若相似，则特征值相同，因此正、负惯性指数相同，从而合同；

• 反过来，合同不一定相似；
• 结论：
• 1. 相似一定合同；
• 2. 合同不一定相似；