Lecture 18：同解方程组

18.1 基本概念

<font color="#ccc1d9">描述：方程组 $A_{mn}x=0$ 和 $B_{sn}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组；

于是：Ax=0,Bx=0 是同解方程组；

解释

意义：
证明 r(A)<r(B) -> 用向量组；
证明 r(A)=r(B) -> 用方程组来证明 -> 同解；
概念：
解代入：
Ax=0 的解满足 Bx=0，且 Bx=0 的解满足 Ax=0 (互相把解代入求出结果即可)
判别法：
r(A)=r(B)，且 Ax=0 的解满足 Bx=0 (或 Bx=0 的解满足 Ax=0)
三秩相同：
$r\left(A\right)=r\left(B\right)=r\left(\left[\begin{matrix}A\\\\B\end{matrix}\right]\right)$
解释：
Ax=0 与 Bx=0 同解
<-> 两个解的向量组等价：$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s=\eta_{1},\eta_{2}\cdots\eta_{s}$
<-> $r(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s)=r(\eta_{1},\eta_{2}\cdots\eta_{s})$ 且第一个向量组可以被第二个向量组线性表示；
<-> r(A)=r(B)=r(A|B)
<-> r(A)=r(B) 且 Ax=0 的解为 Bx=0 的解；
<-> $r\left(A\right)=r\left(B\right)=r\left(\left[\begin{matrix}A\\\\B\end{matrix}\right]\right)$
结论：
$r(AA^{T})=r(A^{T})=r(A)=r(A^{T}A)$