Lecture 15：齐次线性方程组

15.1 知识结构

介绍：知识结构

• 齐次线性方程组
• 有解的条件
• 解的性质
• 基础解系和解的结构
• 求解方法与步骤
• 非齐次线性方程组
• 有解的条件
• 解的性质
• 求解方法和步骤
• 两个方程组的公共解
• 同解方程组

15.2 线性方程组

15.2.1 概念引入

概念：方程组与向量的关系

• 1. 本质上，线性方程组与向量组其实是一回事，方程组问题就是向量组问题，因为方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式，其本质一样，所以解决方法也一样；
• 2. 而方程组的解，就是描述列向量组中各向量之间数量关系的系数；

概念：线性方程组

• 举例：
• $\begin{gathered}2 x+5 y+3 z =-3 \\4 x+0 y+8 z =0 \\1 x+3 y+0 z =2 \end{gathered}$

概念：从线性方程组到矩阵

• 矩阵方程：
• Ax=v
• 意义：
• 当前我们存在一个向量 x，我们可以通过 A 这个矩阵，在对 x 进行线性变换后、使得 x 和向量 v 重合；
• 图示：
• 

分析：假设当前是二维矩阵 A

• 情况一：矩阵 A 的行列式不为 0 时
• 意义：
• 此时空间并未被挤压为 0 面积的区域；
• 在这种情况下，有且仅有一个向量 (在变换后)与 v 重合；
• 这也就意味着：对于一个行列式不为 0 的方程组，几乎可以确定其存在的唯一解；
• 总结：
• 只要变换后不将解空间压缩到一个更低的维度上（即 A 的行列式不为 0），则 A 存在的逆变换，使得应用 A 变换再应用 A 逆变换之后，结果与恒等变换无异；
• 此时求解方程：$$Ax=v\rightarrow A^{-1}A\vec{\mathbf{x}}=A^{-1}\vec{\mathbf{v}}\rightarrow x=A^{-1}v$$
• 情况二：矩阵 A 的行列式为 0 时
• 意义：
• 此时不是矩阵没有逆变换，与这个方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度上；
• 当 $A\vec{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right]$ 时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解；
• 补充：关于逆矩阵
• $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline A^{-1}A=&\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\\\hline\text{The transformation}\\\hline\text{that does nothing}\\\hline\text{“什么都不做”的变换}\\\hline\end{array}$$

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15.2.2 定义

定义： #齐次方程

<font color="#ccc1d9">描述：如果将函数的所有自变量乘以一个非零因子，此时因变量相当于原函数乘以这个非零因子的幂，则称此函数为齐次函数。即需满足关系: $$f\left(tx_{1},tx_{2},tx_{3},\cdots,tx_{n}\right)=t^{k}f\left(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\right),t\neq0$$

解释

• 举例：$$f(x,y)=\frac{x^{2}-2xy}{xy+3y^{2}}$$
• 其是一个零次齐次方程；

定义： #非齐次线性方程组

<font color="#ccc1d9">描述：

非齐次线性方程组： $$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{cases}$$

该方程组的系数矩阵就是若干个列向量拼成的：$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$$

其增广矩阵就是系数矩阵再添加一个列向量拼成的：$$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{bmatrix}$$

解释

• 概念：
• 该方程组的未知数就是向量组中各成员的系数；
• $x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n}=\beta$
• 其中：$a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix},j=1,2,\cdots,n,\beta=\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{bmatrix}$
• 解释：
• 所以从本质上说，方程组问题就是向量组问题，方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式，其本质一样，所以解决方法也一样；

15.3 齐次线性方程组概念

15.3.1 齐次线性方程组基本概念

定义： #齐次线性方程组

<font color="#ccc1d9">描述： $$\\\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0\end{cases}$$

解释

• 向量形式：
• $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n}=0$
• 即：全部都线性无关；
• 其中： $a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix},j=1,2,\cdots,n$
• 其矩阵形式为：$A_{m\times n}x=0$
• 其中：
• $A_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix},x=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{bmatrix}$

概念：线性方程的解与向量的关系

• 方程组的解，就是描述列向量组中各向量之间数量关系的系数

15.3.2 有解的条件

概念：有解的条件

• 前提：
• 对方程组：$\\\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0\end{cases}$
• 条件：
• 情况 1
• 描述：
• $$当r\left(A\right)=n\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\text{线性无关}\right)\text{时,方程组}\left(I\right)\text{有唯一零解}$$
• 概念：
• 当 $A$ 是 $A_{m*n}$ 时，其中的 $m$ 代表行数，可以小于 $m$；但 $n$ 代表列数，即 $n$ 个未知数就是 $n$ 个；
• 解释：
• 如果系数方程的列满秩，则系数方程只有唯一零解（唯一解）；
• 即：当前方程组的 S=n-r(A)=0，n 代表列数，即多少个向量，而 r(A) 代表秩，S 代表加上秩代表的限制之后的自由度，当 S=0 时，满秩，因此唯一零解；
• 情况 2
• 描述：
• $$\text{当}r(A)=r<n\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\text{线性相关}\right)\text{时,方程组}\left(I\right)\text{有非零解}\left(\text{无穷多解}\right),\text{且有}n-r\text{个线性无关解}$$
• 解释：
• 可以用 S=n-r(A) 来计算受约束后的自由度；
• n 表示自由度；
• r(A) 表示真实的约束个数；
• S 代表受约束的自由度，即当前方程组的解空间；
• 举例：比如假设 n=5, r=3 ，当 n-r=2 时；
• 表示：在一个五维的空间当中，有三个自变量的约束，因此只有两个自由的变量；
• 这两个自由的维度构成了一个平面，这个平面就是其解空间；
• 分析：
• 考题主要靠第二种；
• 即方程组一般是“胖胖呼呼方程组” <- m<n

15.3.3 基础解系和解的结构

定义： #基础解系

<font color="#ccc1d9">描述：基础解系：$\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ 满足以下三个条件 <- 对于 r(A)<n 的情况：

1. 是方程组 AX=0 的解；

2. 线性无关；

3. 方程组 AX=0 的任一解均可由 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ 线性表示

则称 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ 位 AX=0 的基础解系；

解释

• 作用：基础解系代表受到真实约束后的解的空间（S=n-r(A)）；

定义： #通解

<font color="#ccc1d9">描述： $$\text{设}\quad\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\quad\text{是}Ax=0\text{ 的基础解系,则}\quad{k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}\quad\text{是方程组}Ax=0\text{ 的通解,}}其中k为任意常数.$$

解释

• 基础解系的线性组合可以表达解空间中的所有向量，因此可以用 $k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$ 表示；
• 其中的系数就是其在坐标系中的坐标；

15.4 求解方法与步骤

步骤：齐次线性方程求解

• 第一步：
• 1.1 将系数矩阵 A 作初等行变换，化成行阶梯形矩阵 B
• 补充：
• 一定是初等行变换；
• 或行最简阶梯形矩阵 B；
• 概念：
• 初等行变换将方程组化为同解方程组，故 Ax=0 和 Bx=0 同解，只需解 Bx=0 即可；
• 名词：
• 基础解系 = 线性无关解 = S=n-r()
• 1.2 台阶数为 r，并记 r(A)=r；
• 阶梯矩阵的台阶数就是约束的个数，即秩的大小；
• 补充：阶梯型矩阵的 行秩=列秩=秩，但一般就直接按照列秩：数台阶数就可以求得；
• 1.3 公式：
• $$A\xrightarrow{\text{初等行变换}}B=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1r}&\cdots&c_{1n}\\0&c_{22}&\cdots&c_{2r}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&c_{rr}&\cdots&c_{m}\\0&0&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&0&\cdots&0\end{bmatrix}_{m\times n},$$
• 其中 m 是原方程组中方程个数，n 是未知量个数；
• 第二步：
• 按列找出秩为 r 的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量；
• 注意：按列找是 r 个，按行找肯定也是 r 个，但按列找更方便；
• 第三步：
• 按基础解系定义，求出 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ ，并写出通解；
• 补充：
• S=2，即两个向量时：可以定义一个 (1,0) 和一个 (0,1)
• S=1，即一个向量时：只要不是零向量即可，可以选一个 (1)