Lecture 45：二重积分的计算

45.1 二重积分的计算

核心思想：把二重积分转化成一元定积分的计算，简化计算方法；

方法选择

根据以下内容进行方法选择：
1. 被积函数；
2. 积分区域；

适合极坐标

（1）适合用极坐标计算的被积函数
公式：
$$f(x^2+y^2),f(\sqrt{x^2+y^2}),f(\frac yx),f(\frac xy)$$
原因：
$\sqrt{x^2+y^2}$ 在直角坐标系下比较复杂，但是在极坐标下就代表 ρ
$\frac yx$ 在极坐标系就是表示角度
（2）适合用极坐标的积分域
$$x^{2}+y^{2}\leq R^{2};\quad\quad\quad r^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq R^{2};\quad\quad\quad\\x^{2}+y^{2}\leq2ax;\quad\quad\quad x^{2}+y^{2}\leq2by;$$
注意：
当圆心不在原点时，可以将 $x-x_0$ 设为 $\rho\sin\theta$，同理对 $y-y_0$
其中，如果（1）和（2）发生矛盾，以（1）为主

45.2 利用直角坐标系计算

定理： #基于直角坐标系的二重积分计算

描述：

（1）先 Y 后 X：$$\int\int_D{f(x,y)d\sigma = \int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx}$$

区域：$\begin{aligned}\varphi_1(x)&\leq y\leq\varphi_2(x)\cdot\\a&\leq x\leq b\end{aligned}$

其中 $\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)$ 代表的是 x 的取值范围，是 x 关于 y 的函数，$\varphi_1(x)$ 就是实际的 y 等于的值；

（2）先 X 后 Y：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$$

区域：$\begin{aligned}\Psi(y)&\leq X\leq\Psi_2(y)\\c&\leq y\leq d\end{aligned}$

方法：确定积分限；

先 Y 后 X 时：
dy 的积分上限与下限 -> 从下往上画一条射线，射线的下端为 dy 积分下限，射线的上端为 dy 的积分上限；
dx 的积分上限与下限 -> 观察图像，看 x 的取值范围；
先 X 后 Y 时：
dx 的积分上限与下限 -> 从左往右画一条射线，射线的左端为 dx 积分下限，射线的上端为 dx 的积分下限；
dy 的积分上限与下限 -> 观察图像，看 y 的取值范围；

解释

概念：
这两种都可以使用，就看哪种计算起来更方便，就用哪个；
先 Y 后 X：
概念：
$\int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx$ 或 $\int_a^b\mathbf{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\operatorname{d}y.$
推理：
1. 先求横截面面积：$S(x)=\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathsf{d}y.$
2. 再对曲边体型面积求解：$V=\int_a^bS(x)\operatorname{d}x$
3. 两者合并：$\int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx$
图示：
二维：
三维：
先 X 后 Y：
前提：$(\sigma)=\{(x,y)\mid x_1(y)\leq x\leq x_2(y),c\leq y\leq d\}$
图示：
化成先 x 后 y 的两次一重定积分；
公式：$\begin{aligned}\iint_{(\sigma)}f(x,y)\operatorname{d}\sigma&=\int_c^d[\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx]\operatorname{d}y\\\\&=\int_c^d\operatorname{d}\left.y\right]_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\operatorname{d}x.\end{aligned}$
非 X 非 Y 区域
图示
概念：
一个复杂的、非 X 非 Y 的图形的二重积分；
方法：
可以通过分割的方式转化为：多个 X 型以及多个 Y 型的求和；

45.3 利用极坐标计算

定理： #基于极坐标的二重积分计算

描述：$$\text{先 }\rho\text{ 后 }\theta\quad\iint_Df (x, y)\mathrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1 (\theta)}^{\varphi_2 (\theta)}f (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$

区域：$\begin{aligned}\varphi_1(0)&\leq p\leq\varphi_2(0)\\\alpha&\leq\theta\leq\beta.\end{aligned}$

解释

注意：
对 $\rho$ 积分的时候，式子中的 $\theta$ 可以被看成是常数。同理对 $\theta$ 积分时；
补充：
可以将函数中的内容，分到两个积分上进行计算；
$\iint_D\frac{x\sin (\pi\sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy=\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\cos\theta}{\cos\theta+\sin\theta}d\theta\cdot\int_1^2\rho\sin (\pi\rho) d\rho$
$\Delta\sigma=\frac12[(\rho+\Delta\rho)^2\Delta\theta-\rho^2\Delta\theta]$ = $\rho\Delta\rho\Delta\theta+\frac12(\Lambda\rho)^2\Delta\theta.$

45.4 利用对称性和奇偶性计算

45.4.1 奇偶性

概念：关于 Y 对称的时候看 X，关于 X 对称的时候看 Y；

性质一：若积分 D 关系 Y 轴对称，则函数关于 X 有奇偶性：

如果关于 X 的函数是偶函数，则加倍；如果关于 X 的函数是奇函数，则为 0；
$$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{x\geq0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma;&f(-x,y)=f(x,y)\\0;&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$$

性质二：若积分 D 关系 X 轴对称，则函数关于 Y 有奇偶性：

$$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{y_{z_0}}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma&f(x,-y)=f(x,y)\\0&f(x,-y)=-f(x,y)\end{cases}$$

45.4.2 对称性

定理： #二重积分的变量对称性

描述： $$\text{若 }D\text{ 关于 }y=x\text{ 对称,则}\quad\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_Df(y,x)\mathrm{d}\sigma $$

解释

积分域一样，自变量做出了对调；
因为 $(x,y)$ 关于 y=x 对称的点为 $(y,x)$

推论：更一般化的结论

$$\int\int_{D(x,y)} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\int_{D(u,v)} f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\int\int_{D(y,x)} f(y,x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$

45.5 常考题型

题型： #累次积分交换次序或计算

PART 1：解题方法

解题步骤：举例 $\text{交换累次积分 }\int_0^1dx\int_{x^2}^{2-x}f(x,y)dy\text{ 的次序}$

第一步：画出域
第二步：按照画出域后，根据另外的次序，定域
交换次序，重新定线：
$$\int_0^1dy\int_0^{\sqrt{y}}f(x,y)dx+\int_1^2dy\int_0^{2-y}f(x,y)dx$$
补充：如果交换次序后也不好计算，考虑用极坐标；

题型：极坐标下的累次积分

举例：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\cos\theta}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho $$
步骤：
（1）画域；
（2）画限，将极坐标方程化成直角坐标方程；

题型：计算累次积分

PART 2：典型例题

PART 3：知识点复盘

题型： #二重积分的计算

PART 1：解题方法

题型：二重积分的计算

先根据 D 的函数，画图
先观察形式，分析：
1. 是否可以使用奇偶性、对称性 -> 简化待积分式；
2. 观察式子，适合用直角坐标系还是极坐标系；
计算：
利用二重积分计算规则，计算；

题型：二重积分与不等式

基本思想：被积函数谁大，谁的积分值就大；

PART 2：典型例题

例题：设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq1\}$，则 $\iint_D(x^2-y)dxdy=$

分析
直接计算 $x^2-y$ 的二重积分不好计算，所以考虑分析奇偶性和对称性；
解析
由奇偶性可知：$\int\int ydxdy=0$
由对称性可知：$原式=\int\int y^2dxdy=\int\int x^2dxdy=\frac{1}{2}\int\int(x^{2}+y^{2})db$