Lecture 44：二重积分

本节内容概要

• （一）二重积分的概念与性质
• （二）二重积分计算

本节常考题型

• 题型一：累次积分交换次序及计算
• 题型二：二重积分计算

44.0 极坐标基础知识

基础概念

• 概念：
• 用角度和长度描述位置的坐标系；
• 转换：
• $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x).$$
• 注意：上述转换方法仅限于二者圆点相同，且极坐标参考系与直角坐标的 𝑥 轴方向相同的情况；
• 图示：
• 

44.1 二重积分基本概念

44.1.1 概念引入

曲面顶柱体的体积

• 在一个曲顶柱体当中，体积由 $\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_i,\eta_i\right)\Delta\sigma_i$ 给出；
• 其中：$\Delta\sigma_i$ 为第 $i$ 个小区域的面积，$f\left(\xi_i,\eta_i\right)$ 为对应的高，$\lambda$ 为各小区域直径的最大值；

定义： 二重积分

描述：如果 $f(x,y)$ 是区域 $D$ 上的有界函数，将 $D$ 分成若干小区域 $\Delta\sigma_i$，并在每个小区域内任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$。若下列极限存在且与分割方式和取点方式无关，则称其为二重积分：

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_i,\eta_i\right)\Delta\sigma_i=\iint_D f(x,y)\,d\sigma.$$

解释

• 区间
• 一重积分的积分区域是一个区间，比如 $(3,6)$；
• 二重积分的积分区域是一个图，因此通常用一个区域 D 来表示；
• 注意：
• 积分区域不等于定义域，积分区域是要求积分的区域；
• 面积元素
• $d\sigma$ 为面积元素；

44.1.2 直角坐标系的面积元素

二重积分的几何意义：面积元素

• 横着分和竖着分；
• $\sigma_{i}=\Delta x_{i}\cdot\Delta y_{j}$
• 公式：$\int\int_{D}f(x,y)dxdy$

44.2 二重积分的性质

44.2.1 不等式性质

二重积分：性质一

• 如果在 D 上，$f(x,y)\leq g(x,y)$ ，则有不等式：
• $$\int\int_Df(x,y)d\sigma\leq\int\int_Dg(x,y)d\sigma $$

二重积分：性质二

• 若在 $D$ 上有 $m\leq f(x,y)\leq M$，则：
• $$mS\leq\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq MS$$
• 其中：S 是区域 D 的面积

二重积分：性质三

• 积分的绝对值，小于绝对值的而积分
• $$\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leq\iint_D\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\sigma.$$

44.2.2 中值定理

定理： 二重积分的中值定理

描述：设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 D 上连续，S 为区域 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使得：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot S$$

解释

• 函数的积分，等于区域 D 上一点的函数值 $f(\xi,\eta)$ 乘以积分域的面积；

44.2.3 其他性质

1. 被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面，即

1. 函数和 (或差)的二重积分等于各个函数二重积分的和 (或差), 即

1. 如果在 D 上，f (x, y)=A, A 是常数，则σ为 D 的面积，则

1. 如果闭区域 D 被有线条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上的二重积分等于在各部分区域上

的二重积分的和，例如 D 被分为两个闭区域 D 1 和 D2，则

• 几何含义：原本一个几何柱体可以一次二重积分求出来，现在将其一个柱体切分成两个柱体，然后分别对其求二重积分，求和即为完整的体积；

1. 如果 $f(x,y)$ 在区域 D 上的数值恒等于 1，则其二重积分就是

即 1 的二重积分，就是函数的面积；