描述：本节整理关系模型中的关系、元组、属性和域，严格区分超码、候选码、主码、复合码、全码、外码、主属性与非主属性；随后说明实体/参照/用户定义完整性，以及笛卡尔积、选择、投影、$\theta$ 连接、等值连接和自然连接。

2.1 关系模型基本术语

2.1.1 关系模式

关系模式描述关系的结构，可写为：

$$ R(A_1,A_2,\ldots,A_n). $$

其中：

• $R$ 是关系名。
• $A_1,\ldots,A_n$ 是属性名。
• 每个属性 $A_i$ 都有一个取值域 $D_i$。

例如课件中的学生关系模式：

$$ \operatorname{Student}( \text{学号}, \text{姓名}, \text{性别}, \text{年龄} ). $$

2.1.2 域 Domain

域是一组具有相同数据类型和语义的合法值集合。

例如：

• 学号域：合法学号字符串。
• 性别域：系统允许的枚举值。
• 年龄域：满足范围约束的整数。

课件第一页绿色框“列取值为域”表示同一属性列中的各分量均来自该属性的域。

2.1.3 属性 Attribute

属性对应关系表的一列，用来描述实体的某一特征。

每个属性具有：

• 属性名。
• 数据类型或域。
• 可选的默认值、空值规则和其他约束。

2.1.4 元组 Tuple

元组对应关系表的一行，是各属性值的有序组合：

$$ t=(a_1,a_2,\ldots,a_n), \qquad a_i\in D_i. $$

课件图中学号 803、姓名 王五、性别 男、年龄 20 所在整行就是一个元组。

2.1.5 分量、度与基数

• 分量：元组在某个属性上的值，例如 王五。
• 度/目（degree/arity）：关系模式的属性个数 $n$。
• 基数（cardinality）：某个关系实例中的元组数。

2.1.6 关系

在关系模型中，关系是笛卡尔积的有限子集：

$$ r(R)\subseteq D_1\times D_2\times\cdots\times D_n. $$

关系模式 $R$ 描述结构，关系实例 $r(R)$ 表示某一时刻实际存在的元组集合。

WARNING · 易错点 关系模式是结构定义，关系实例是当前数据；表只是关系在数据库中的常用实现和显示方式。

2.2 超码与候选码

设关系模式的属性全集为 $U$。

2.2.1 超码 Superkey

若属性集 $K\subseteq U$ 能唯一标识关系中的每个元组，则 $K$ 是超码。

超码只要求唯一性，允许包含多余属性。

如果 EmployeeID 能唯一标识员工，则：

$$ {\text{EmployeeID}} $$

是超码，包含它的：

$$ {\text{EmployeeID},\text{Name}} $$

也仍是超码。

2.2.2 候选码 Candidate Key

候选码是最小超码，同时满足：

1. 唯一性：能够唯一标识每个元组。
2. 最小性：删除其中任一属性后都不再具有唯一性。

最小性是集合包含意义上的不可再约简，不是“属性个数在所有码中最少”。

一个关系可以有多个候选码。

2.2.3 主码 Primary Key

从候选码中选定一个作为主码，也称主键或主关键字。

设候选码的集合为 $\mathcal C$，超码的集合为 $\mathcal S$，被选中的主码为 $K_{\text{primary}}$，则：

$$ K_{\text{primary}}\in\mathcal C\subseteq\mathcal S. $$

也就是说，主码是候选码集合中的一个元素，不是候选码集合的子集；每个候选码本身都是一个最小超码。

SQL 中主键满足：

• 唯一。
• 每个组成列非空。
• 一个表只能声明一个 PRIMARY KEY 约束，但该主键可以包含多列。

其余没有被选为主码的候选码称为备用码/替代码（alternate key）。

2.3 复合码与全码

2.3.1 复合码

由两个或多个属性共同组成的候选码或主码，称为复合码/联合码。

课件中的订单明细：

CREATE TABLE OrderDetails (
    OrderID   INT,
    ProductID INT,
    Quantity  INT,
    PRIMARY KEY (OrderID, ProductID)
);

这里：

$$ {\text{OrderID},\text{ProductID}} $$

是复合主码。

2.3.2 全码 All-key

若关系模式的全部属性共同构成一个候选码，则称该候选码为全码。

例如关系：

$$ R(A,B,C) $$

只有属性全集：

$$ {A,B,C} $$

能唯一标识元组，且删除任一属性后都不能唯一标识，则 $ABC$ 是全码。

WARNING · 课件术语纠错 课件把“由多个属性组合而成的主码”称为全码，这是错误的；它应称为复合主码。全码要求码包含关系模式的全部属性。上面的 OrderDetails 还含 Quantity，所以 (OrderID, ProductID) 是复合主码而不是全码。

2.4 主属性与非主属性

2.4.1 主属性

只要某属性属于任意一个候选码，它就是主属性。

2.4.2 非主属性

不属于任何候选码的属性是非主属性。

课件员工表：

CREATE TABLE Employees (
    EmployeeID INT PRIMARY KEY,
    Email      VARCHAR(100) UNIQUE,
    Name       VARCHAR(50),
    Department VARCHAR(50)
);

假设 EmployeeID 和 Email 都非空且各自唯一，则候选码为：

$$ {\text{EmployeeID}}, \qquad {\text{Email}}. $$

于是：

• 主属性：EmployeeID、Email。
• 非主属性：Name、Department。
• {EmployeeID, Name} 是超码，但不是候选码，因为 Name 多余。
• {Email, Department} 也是超码，但不是候选码。

NOTE · SQL 口径 标准 SQL 中 UNIQUE 通常允许空值，且不同 DBMS 对多个 NULL 的处理可能不同。要把 Email 严格当作关系理论中的候选码，还应声明 NOT NULL。

2.5 外码

2.5.1 定义

若关系 $R$ 的属性集 $F$ 引用关系 $S$ 的候选码 $K$，则 $F$ 是 $R$ 的外码（Foreign Key）。

被引用关系可以是另一个关系，也可以是 $R$ 自身。

外码用于建立关系之间的联系，但外码值不要求在引用表中唯一。

2.5.2 SQL 例子

CREATE TABLE Customers (
    CustomerID INT PRIMARY KEY,
    Name       VARCHAR(50)
);

CREATE TABLE Orders (
    OrderID    INT PRIMARY KEY,
    OrderDate  DATE,
    CustomerID INT,
    FOREIGN KEY (CustomerID)
        REFERENCES Customers(CustomerID)
);

其中：

• Customers.CustomerID 是被引用码。
• Orders.CustomerID 是外码。
• 多个订单可以引用同一客户。
• 若外码列允许空，则没有客户的订单可暂时取 NULL；若业务不允许，应再加 NOT NULL。

WARNING 外码引用的是被引用关系中的候选码/唯一键，不一定只能引用被选定的主码；但引用列必须满足 DBMS 对唯一性的要求。

2.6 各种码的包含关系

课件第二页的同心结构应按概念理解：

属性集合
└─ 超码：能够唯一标识元组
   └─ 候选码：最小超码
      └─ 主码：被选中的一个候选码

还需补充：

• 主属性不是候选码集合本身，而是出现在任一候选码中的单个属性。
• 外码与上述“唯一标识本关系”的包含链不同，它承担跨关系引用。
• 全码是一个特殊候选码：候选码恰好由全部属性组成。

2.7 关系完整性

数据库完整性指数据的正确性、有效性和相容性。

关系模型的完整性约束包括实体完整性、参照完整性和用户定义完整性。

2.7.1 实体完整性

实体完整性要求主码能够稳定标识每个实体：

• 主码值唯一。
• 主码的任何组成属性都不能为 NULL。

中国数据库教材常把规则表述为“基本关系的主属性不能取空值”；SQL 实现中最直接、强制的规则是 PRIMARY KEY 各列非空且唯一。

2.7.2 参照完整性

若 $F$ 是关系 $R$ 的外码，引用关系 $S$ 的候选码 $K$，则 $R$ 中每个外码值必须：

1. 等于 $S$ 中某个现有元组的 $K$ 值；或
2. 在允许空值时取 NULL，表示未知或不适用。

删除或修改被引用元组时，可配置：

• 拒绝操作（RESTRICT/NO ACTION）。
• 级联更新或删除（CASCADE）。
• 把外码置空（SET NULL）。
• 设置默认值（部分 DBMS 支持）。

2.7.3 用户定义完整性

用户定义完整性是特定业务的语义约束，例如：

• UNIQUE：值唯一。
• NOT NULL：不允许空值。
• DEFAULT：缺省值。
• CHECK：条件检查。
• 触发器或应用级复杂约束。

2.7.4 两个不变性

实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的基本完整性规则；用户定义完整性随业务而变化。

2.8 关系代数概览

传统集合运算包括并、差、交和笛卡尔积；专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。

本课件重点讲：

• 笛卡尔积。
• 选择。
• 投影。
• $\theta$ 连接。
• 等值连接。
• 自然连接。

关系代数采用集合语义，结果仍是关系，具有闭包性。

2.9 笛卡尔积

设：

$$ R\subseteq D_1\times\cdots\times D_r, \qquad S\subseteq E_1\times\cdots\times E_s. $$

笛卡尔积为：

$$ R\times S

{(t_R,t_S)\mid t_R\in R,\ t_S\in S}. $$

若：

$$ |R|=m, \qquad |S|=n, $$

则：

$$ |R\times S|=mn. $$

结果的属性数为：

$$ \deg(R\times S)=\deg(R)+\deg(S). $$

课件图中一个 2 行关系与一个 2 行关系做笛卡尔积，得到 4 行；纯笛卡尔积只枚举所有组合，通常没有直接业务含义。

若两关系有同名属性，需要用关系名前缀区分。

2.10 选择

选择（Selection）按条件筛选元组：

$$ \sigma_F(R)

{t\mid t\in R\land F(t)}. $$

课件从学生关系中选择女生：

$$ \sigma_{\text{Ssex}='女'}(\text{Student}). $$

结果只保留赵六所在元组。

选择的特点：

• 横向筛选行。
• 属性列不变。
• 结果元组数不超过原关系。

2.11 投影

投影（Projection）选择指定属性列：

$$ \pi_{A_1,A_2,\ldots,A_k}(R). $$

课件例子：

$$ \pi_{\text{Sno},\text{Sname}}(\text{Student}). $$

投影的特点：

• 纵向选择列。
• 结果度数为 $k$。
• 关系代数采用集合语义，投影后重复元组要消除。

若只投影年龄，原表多行年龄都为 20，结果中只保留一个 (20) 元组。

NOTE SQL 默认是多重集合语义，SELECT Age 会保留重复行；要对应关系代数投影，应使用 SELECT DISTINCT Age。

2.12 $\theta$ 连接

$\theta$ 连接是在笛卡尔积上按比较条件筛选：

$$ R\bowtie_{A\ \theta\ B}S

\sigma_{R.A\ \theta\ S.B}(R\times S), $$

其中：

$$ \theta\in{=,\ne,<,\le,>,\ge}. $$

课件第六页“姓名-分数”与“分数线-等级”的例子使用：

$$ \text{分数}>\text{分数线}. $$

系统先形成组合，再保留满足比较关系的元组。例如分数 75 可与分数线 60 匹配，但不能与 80 匹配。

2.13 等值连接

等值连接是 $\theta$ 连接中 $\theta$ 为等号的特殊情况：

$$ R\bowtie_{R.A=S.B}S

\sigma_{R.A=S.B}(R\times S). $$

课件学生表与教师表按：

$$ R.\text{教师号}=S.\text{教工号} $$

连接。

过程：

1. 概念上形成 $R\times S$。
2. 保留连接属性值相等的元组。

结果中通常同时保留 教师号 与 教工号 两个连接列。

WARNING 等值连接不是“去列、去值相同的行”。它是按相等条件筛选笛卡尔积元组；是否删除重复连接列是自然连接与等值连接的重要区别。

2.14 自然连接

自然连接自动对两个关系中所有同名属性做等值匹配，并在结果中只保留一份同名属性：

$$ R\bowtie S. $$

课件过程可整理为：

1. 找出两个关系的同名属性组。
2. 保留这些属性值全部相等的元组组合。
3. 删除重复的同名属性列。

自然连接与等值连接对比：

若两关系没有同名属性，自然连接退化为笛卡尔积。

WARNING 自然连接的同名属性会全部参与匹配，实际 SQL 中常优先显式写 JOIN ... ON ...，避免无意同名列改变语义。

2.15 各运算对行列的影响

2.16 易错点

• 超码只要求唯一，候选码还要求最小；候选码是最小超码。
• 主码是被选中的候选码，一个关系可以有多个候选码但只选一个主码。
• 复合码由多个属性组成；全码必须包含关系模式的全部属性，两者不能混用。
• 主属性属于任意候选码，不是只属于已选主码。
• 外码不要求在引用表中唯一，它引用被引用关系的候选码/唯一键。
• SQL 的 UNIQUE 允许 NULL 的规则因 DBMS 而异，理论候选码不能含未知值。
• 实体完整性保证主码非空且唯一；参照完整性保证外码为空或匹配被引用码。
• 笛卡尔积行数相乘、列数相加。
• 选择筛行不改列，投影选列并在关系代数集合语义下去重。
• $\theta$ 连接是带任意比较符的连接，等值连接只是其中等号情况。
• 等值连接通常保留两边连接列，自然连接自动匹配全部同名属性并删除重复列。
• SQL 默认保留重复行，与纯关系代数集合语义不同。

相关知识

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2.17 本节复盘

• 关系模式由关系名、属性和域组成；元组是关系中的一行，关系是笛卡尔积的有限子集。
• 超码唯一标识元组，候选码是最小超码，主码是选定候选码，其余候选码为替代码。
• 复合码强调多个属性联合，全码强调候选码包含全部属性。
• 主属性出现在任一候选码中，非主属性不属于任何候选码。
• 外码引用另一关系或本关系的候选码，用于建立关系并维护参照完整性。
• 实体完整性、参照完整性是关系模型基本规则，用户定义完整性表达具体业务要求。
• 笛卡尔积生成全部组合，选择筛选行，投影选择列并按集合语义去重。
• $\theta$ 连接是在笛卡尔积上按比较条件选择，等值连接使用等号，自然连接自动匹配同名属性并去重连接列。