Lecture 5：关系数据理论

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描述：本节从冗余与更新异常出发，整理函数依赖、平凡/非平凡依赖、完全/部分依赖和传递依赖，并依次说明 1NF、2NF、3NF、BCNF 的判定、分解与 SQL 示例。

5.1 不良关系模式的问题

课件把学生、系、系主任、课程和成绩放在一个关系中：

$$ \operatorname{Teaching}( \text{学号},\text{姓名},\text{年龄}, \text{系名},\text{系主任}, \text{课程名},\text{成绩} ). $$

同一学生选多门课时，姓名、年龄、系名和系主任会重复出现。

5.1.1 数据冗余

同一事实存储多次，例如每条选课记录都重复学生和院系信息。

5.1.2 更新异常

若某系主任更换，必须修改该系所有相关元组；漏改一行就产生矛盾。

5.1.3 插入异常

如果某系暂时没有学生或课程，可能无法单独插入系和系主任信息。

5.1.4 删除异常

删除某学生最后一条选课记录时，可能同时丢失学生、系或系主任事实。

这些异常的根源不是“表太宽”本身，而是多个不同语义的函数依赖被混放在同一关系模式中。

5.2 函数依赖

设关系模式：

$$ R(U), $$

$X,Y\subseteq U$。若对 $R$ 的任何合法关系实例，任意两个元组在 $X$ 上取值相同，就必然在 $Y$ 上取值相同，则称 $X$ 函数决定 $Y$：

$$ X\rightarrow Y. $$

也称 $Y$ 函数依赖于 $X$。

例如：

$$ \text{Sno}\rightarrow\text{Sname}, $$

$$ \text{Sno}\rightarrow\text{Sdept}. $$

含义是同一学号不能对应两个不同姓名或院系。

WARNING 函数依赖是关系模式语义上的约束，不能只根据当前少量样本“碰巧没有重复”就断定成立。

5.3 平凡与非平凡函数依赖

5.3.1 平凡函数依赖

若：

$$ Y\subseteq X, $$

则：

$$ X\rightarrow Y $$

是平凡函数依赖，总是成立。

例如：

$$ {\text{StudentID},\text{Name}} \rightarrow {\text{Name}}. $$

5.3.2 非平凡函数依赖

若：

$$ Y\nsubseteq X, $$

则 $X\rightarrow Y$ 是非平凡函数依赖。

若还有：

$$ X\cap Y=\varnothing, $$

则称完全非平凡依赖。

规范化判定主要关注非平凡函数依赖。

5.4 完全与部分函数依赖

5.4.1 完全函数依赖

若 $X\rightarrow Y$，且对 $X$ 的任何真子集 $X'$ 都有：

$$ X'\nrightarrow Y, $$

则 $Y$ 完全函数依赖于 $X$，记作：

$$ X\xrightarrow{F}Y. $$

5.4.2 部分函数依赖

若 $X\rightarrow Y$，但存在真子集 $X'\subset X$ 使：

$$ X'\rightarrow Y, $$

则 $Y$ 部分函数依赖于 $X$，记作：

$$ X\xrightarrow{P}Y. $$

例如选课关系的候选码为：

$$ (\text{StudentID},\text{CourseID}), $$

而：

$$ \text{StudentID}\rightarrow\text{StudentName}, $$

所以 StudentName 对复合码是部分依赖。

单属性候选码没有非空真子集，因此不会产生针对该码的部分依赖。

5.5 传递函数依赖

若：

$$ X\rightarrow Y, $$

$$ Y\rightarrow Z, $$

且 $Y\nrightarrow X$，$Z\nsubseteq Y$，则称 $Z$ 对 $X$ 传递函数依赖：

$$ X\xrightarrow{T}Z. $$

课件例子：

$$ \text{学号}\rightarrow\text{系名}, $$

$$ \text{系名}\rightarrow\text{系主任名字}, $$

所以：

$$ \text{学号}\xrightarrow{T}\text{系主任名字}. $$

传递依赖会让系主任信息在每个学生元组中重复。

5.6 候选码与属性闭包

给定函数依赖集 $F$，属性集 $X$ 关于 $F$ 的闭包 $X_F^+$ 是由 $X$ 能函数决定的全部属性。

若：

$$ X_F^+=U, $$

则 $X$ 是超码；若 $X$ 还没有能决定 $U$ 的真子集，则 $X$ 是候选码。

闭包计算：

初始化 $X^+=X$。
若存在 $Y\rightarrow Z$ 且 $Y\subseteq X^+$，把 $Z$ 加入 $X^+$。
重复直到不再增加属性。

范式判定前必须先确认候选码和主属性，否则容易误判 2NF、3NF、BCNF。

5.7 范式与规范化

范式（Normal Form）是评价关系模式规范化程度的理论标准。

常见层次：

$$ \text{1NF} \supset \text{2NF} \supset \text{3NF} \supset \text{BCNF}. $$

更高阶还有 4NF、5NF，分别处理多值依赖和连接依赖。

规范化是把低级范式的关系模式分解为更高级范式的过程，目标是减少冗余和更新异常。

NOTE 范式越高通常冗余越少，但查询可能需要更多连接，不能简单说所有操作复杂度都必然降低。设计时还要权衡无损连接、依赖保持和性能。

5.8 第一范式 1NF

5.8.1 定义

若关系模式的每个属性在当前关系模型中都取原子值，即每个分量是定义域中的单一值，则属于第一范式。

直观要求：

一个单元格不能放可变数量的列表或重复组。
每一列在既定语义下取单一值。

1NF 是关系模型的基本要求。

5.8.2 出生日期图的准确解释

课件把出生日期分成“年、月、日”来说明可分性。

如果一个单元格内部存放结构化的多个独立字段，且系统要把它们当重复组处理，可能违反 1NF。

但现代数据库中的单个 DATE 值属于一个原子定义域，即使逻辑上能提取年、月、日，也不因此违反 1NF。

WARNING · 课件图示纠错 “出生日期能拆成年月日，所以一定不属于 1NF”过于机械。原子性相对于关系模式选定的定义域和业务语义；标准 DATE 列通常视为原子值。

5.9 第二范式 2NF

5.9.1 定义

关系模式 $R$ 属于 2NF，当且仅当：

$R\in\text{1NF}$；
每个非主属性都完全函数依赖于每一个候选码，不存在对候选码真子集的部分依赖。

口诀：

2NF：消除非主属性对候选码的部分依赖

5.9.2 推论

若所有候选码都是单属性，则不会存在对候选码的部分依赖，因此满足 1NF 的该关系必然满足 2NF。

5.9.3 课件选课例子

原关系：

CREATE TABLE StudentCourses (
    StudentID   INT,
    CourseID    INT,
    StudentName VARCHAR(50),
    PRIMARY KEY (StudentID, CourseID)
);

函数依赖：

$$ (\text{StudentID},\text{CourseID}) \rightarrow\text{StudentName}, $$

同时：

$$ \text{StudentID}\rightarrow\text{StudentName}. $$

所以 StudentName 只依赖复合码的一部分，不符合 2NF。

分解为：

CREATE TABLE Students (
    StudentID   INT PRIMARY KEY,
    StudentName VARCHAR(50)
);

CREATE TABLE StudentCourses (
    StudentID INT,
    CourseID  INT,
    PRIMARY KEY (StudentID, CourseID),
    FOREIGN KEY (StudentID)
        REFERENCES Students(StudentID)
);

学生姓名只存一份，选课关系只保留与整个复合码有关的事实。

5.10 第三范式 3NF

5.10.1 直观定义

关系满足 2NF，并且非主属性不传递依赖于候选码，则属于 3NF。

口诀：

3NF：消除非主属性对候选码的传递依赖

5.10.2 正式判定

对函数依赖集 $F^+$ 中每个非平凡依赖：

$$ X\rightarrow A, $$

至少满足一项：

$X$ 是超码；
$A$ 是主属性。

第二项是 3NF 与 BCNF 的关键差别。

5.10.3 课件班级例子

原关系：

CREATE TABLE Students (
    StudentID INT PRIMARY KEY,
    Name      VARCHAR(50),
    ClassID   INT,
    ClassName VARCHAR(50)
);

存在：

$$ \text{StudentID}\rightarrow\text{ClassID}, $$

$$ \text{ClassID}\rightarrow\text{ClassName}. $$

所以 ClassName 传递依赖于 StudentID，不符合 3NF。

分解为：

CREATE TABLE Classes (
    ClassID   INT PRIMARY KEY,
    ClassName VARCHAR(50)
);

CREATE TABLE Students (
    StudentID INT PRIMARY KEY,
    Name      VARCHAR(50),
    ClassID   INT,
    FOREIGN KEY (ClassID)
        REFERENCES Classes(ClassID)
);

5.10.4 二属性关系

对只有两个属性 $A,B$ 的关系模式，若非平凡函数依赖的决定因素非空，例如 $A\to B$，则 $A$ 连同其平凡决定的自身可决定全部属性，所以决定因素是超码，通常满足 BCNF，自然也满足 3NF。这个常用结论隐含了“忽略空决定因素”的教材口径；若允许 $\varnothing\to A$ 且 $\varnothing$ 不能决定 $B$，则 $\varnothing$ 不是超码，二属性关系仍可违反 BCNF。

5.11 BCNF

5.11.1 定义

关系模式 $R$ 属于 BCNF，当且仅当对 $F^+$ 中每个非平凡函数依赖：

$$ X\rightarrow Y, $$

$X$ 都是超码。

口诀：

BCNF：每个非平凡函数依赖的决定因素都是超码

BCNF 蕴含 3NF，但 3NF 不一定蕴含 BCNF。

5.11.2 课件课程-教师例子

原关系：

CREATE TABLE StudentCourses (
    StudentID INT,
    CourseID  INT,
    TeacherID INT,
    PRIMARY KEY (StudentID, CourseID)
);

业务规定每门课程只有一名教师：

$$ \text{CourseID}\rightarrow\text{TeacherID}. $$

CourseID 不是超码，所以违反 BCNF。

可分解为：

CREATE TABLE Courses (
    CourseID  INT PRIMARY KEY,
    TeacherID INT
);

CREATE TABLE StudentCourses (
    StudentID INT,
    CourseID  INT,
    PRIMARY KEY (StudentID, CourseID),
    FOREIGN KEY (CourseID)
        REFERENCES Courses(CourseID)
);

WARNING · 例子口径纠错在该模式中 TeacherID 是非主属性，CourseID 又不是超码，因此 CourseID→TeacherID 同时违反 3NF。它能说明 BCNF 的决定因素要求，但不是“满足 3NF、仅违反 BCNF”的严格反例。

5.11.3 3NF 但不满足 BCNF 的严格例子

设：

$$ R(S,C,T), $$

函数依赖：

$$ SC\rightarrow T, $$

$$ T\rightarrow C. $$

候选码为：

$$ SC, ST. $$

在 $T\rightarrow C$ 中：

$T$ 不是超码，所以违反 BCNF。
$C$ 属于候选码 $SC$，是主属性，所以满足 3NF 的例外条件。

因此该关系满足 3NF，但不满足 BCNF。

5.12 范式包含与快速判定

范式	核心条件	消除的问题
1NF	属性取原子值	重复组、非原子分量
2NF	非主属性完全依赖候选码	部分依赖
3NF	非平凡 $X\to A$ 中，$X$ 为超码或 $A$ 为主属性	非主属性传递依赖
BCNF	每个非平凡依赖左部都是超码	决定因素不是码造成的冗余

判定步骤：

写出关系模式和函数依赖集。
用属性闭包求全部候选码。
标出主属性与非主属性。
检查属性是否原子，判断 1NF。
检查非主属性是否部分依赖候选码，判断 2NF。
用 3NF 正式条件检查每个非平凡依赖。
检查每个决定因素是否都是超码，判断 BCNF。

5.13 分解的质量要求

提高范式时不能只追求“拆表”，还要考虑：

5.13.1 无损连接

分解后自然连接应能恢复原关系，不能产生伪元组或丢失合法信息。

二元分解 $R\to R_1,R_2$ 对函数依赖集 $F$ 无损的常用判据是：

$$ (R_1\cap R_2)\rightarrow R_1 $$

或：

$$ (R_1\cap R_2)\rightarrow R_2 $$

能由 $F^+$ 推出。

5.13.2 依赖保持

原函数依赖应尽量能在各子关系内部检查，而不必每次连接多个关系。

3NF 综合算法通常能兼顾无损连接与依赖保持；BCNF 分解保证无损，但可能不能保持全部依赖。

5.14 易错点

函数依赖是模式语义约束，不是从当前样本偶然现象推断。
$Y\subseteq X$ 时 $X\to Y$ 是平凡依赖。
完全依赖要求左部任何真子集都不能决定右部；存在能决定右部的真子集就是部分依赖。
2NF 检查的是每个非主属性对每个候选码，不是只看已选主键。
单属性候选码的 1NF 关系不会有部分依赖，因此满足 2NF。
3NF 的正式条件允许右部为主属性；BCNF 不允许这一例外。
BCNF 要求每个非平凡依赖的左部为超码，不是“右部为超码”。
标准 DATE 值通常是原子定义域，不能因可提取年月日就直接判为非 1NF。
课件的课程-教师关系同时违反 3NF 与 BCNF，不是两者差异的严格反例。
范式提高减少冗余，但可能增加查询连接，不能忽略无损连接和依赖保持。

5.15 本节复盘

不良关系模式会产生冗余、插入异常、删除异常和更新异常，根源是依赖混杂。
$X\to Y$ 表示相同 $X$ 值必然对应相同 $Y$ 值。
平凡依赖的右部包含在左部；部分依赖、传递依赖分别导致 2NF、3NF 问题。
属性闭包用于判断超码和候选码，是范式判定的前置工具。
1NF 要求属性相对于定义域取原子值。
2NF 消除非主属性对候选码的部分依赖。
3NF 要求每个非平凡依赖左部为超码，或右部为主属性。
BCNF 更严格，要求每个非平凡依赖的左部都是超码。
规范化分解还必须关注无损连接和依赖保持，不能机械拆表。

5.1 不良关系模式的问题

5.1.1 数据冗余

5.1.2 更新异常

5.1.3 插入异常

5.1.4 删除异常

5.2 函数依赖

5.3 平凡与非平凡函数依赖

5.3.1 平凡函数依赖

5.3.2 非平凡函数依赖

5.4 完全与部分函数依赖

5.4.1 完全函数依赖

5.4.2 部分函数依赖

5.5 传递函数依赖

5.6 候选码与属性闭包

5.7 范式与规范化

5.8 第一范式 1NF

5.8.1 定义

5.8.2 出生日期图的准确解释

5.9 第二范式 2NF

5.9.1 定义

5.9.2 推论

5.9.3 课件选课例子

5.10 第三范式 3NF

5.10.1 直观定义

5.10.2 正式判定

5.10.3 课件班级例子

5.10.4 二属性关系

5.11 BCNF

5.11.1 定义

5.11.2 课件课程-教师例子

5.11.3 3NF 但不满足 BCNF 的严格例子

5.12 范式包含与快速判定

5.13 分解的质量要求

5.13.1 无损连接

5.13.2 依赖保持

5.14 易错点

相关知识

5.15 本节复盘