Lecture 4：矩阵的定义及其基本运算

4.1 矩阵的本质

4.1.1 矩阵概念

引入：矩阵的作用 -> 表达系统信息；

• 核心：任何一个矩阵，最后都可以用基向量来表示，矩阵中的信息都是可以用基向量表达出来的；

概念：什么是矩阵

• 概念：
• 列：
• 代表变换的基向量的个数；
• 行：
• 代表变换后空间的维数；
• 意义：
• 从线性变换的角度，假设现在有一个三维方阵矩阵 $A_{3*3}$，此时 A 矩阵的三个列就代表了：在进行线性变换 Ax=b 当中，对三个基向量的变换；
• 举例：如果当前是 3*2 的矩阵，即当前矩阵有三行、两列；
• 两列：也就是有两个基向量，也就是一个二维的平面；
• 三行：代表这两个基向量有 [x,y,z] 这三个维度；
• 乘以三行两列，也就代表：
• 将两个基向量映射到三维的空间中，因此变换构成了三维空间中的二维平面；
• 当出现 32 的矩阵 $A_{32}$ 时，其表示将一个二维的图形映射到三维的空间中；因为 A 有两个基向量，并且这两个基向量现在是三维的 [x,y,z]；
• 举例： 如果当前是 2*3 的矩阵，即当前矩阵有两行、三列
• 当出现 23 的矩阵 $A_{32}$ 时，其表示将一个三维的图形映射到二维的空间中；因为 A 有三个基向量，并且这三个基向量现在是二维的 [x,y] 基向量；

概念：矩阵和行列式分别的乘积

• 矩阵：表示系统信息的乘积，作用在每一个系统信息上
• $$\left.k\cdot A=\left(\begin{matrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{matrix}\right.\right)$$
• 行列式：表示对一个测度（比如一个平行四边形的某个维度）进行乘积
• $$k|A|=\left|\begin{matrix}ka_{11}&ka_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right|$$
• 公式：
• $$|kA|=k^{n}\cdot|A|$$

概念：矩阵信息表达中、数据和数据之间的关系

• 引入：
• 矩阵不一定是方形的，可能是 10002 或者 21000；
• Gram 矩阵
• 对于 $A=(\begin{matrix}a\\b\end{matrix})$ ，$A^T=(a\quad b)$ $A^{T}A=(ab)(\begin{matrix}a\\b\end{matrix})=\alpha^{T}\cdot\alpha=||\alpha||^{2}=||\alpha||^{2}*\cos 0$
• 作用：
• 如果只是给了你一个 $A=(\alpha_1\quad \alpha_2)$ 的矩阵，其实并不知道其中 $\alpha_1\quad \alpha_2$ 之间的关系；但是可以通过将 $A$ 乘以其转置矩阵的方式，得到其中更多的信息：
• $$A^{T}A=\left(\begin{matrix}\alpha_{1}^{T}\\\alpha_{2}^{T}\end{matrix}\right)\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)=\left.k\cdot A=\left(\begin{matrix}||\alpha_1||||\alpha_1||\cos \theta_{11}&||\alpha_1||||\alpha_2||\cos \theta_{12}\\||\alpha_2||||\alpha_1||\cos \theta_{21}&||\alpha_2||||\alpha_2||\cos \theta_{22}\end{matrix}\right.\right)$$
• 在这里面可以得到数据之间的相似度；
• 概念：
• 矩阵不能运算，但是其若干行 (列) 向量之间可能存在着某种关系

重要观点 1：矩阵也是由若干行 (列) 向量拼成的

• 上面那个矩阵可以看作由三个行向量：$[1,2,3],[4,6,9],[2,4,6]$ 组成，也可以看作是三个列向量组成：$[1,6,2]^{\mathrm{T}},[2,7,4]^{\mathrm{T}}与[3,9,6]^{\mathrm{T}}$

定义： #矩阵的秩

<font color="#ccc1d9">描述：设 $A$ 是 $m*n$ 矩阵，$A$ 中最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记为 $r(A)$

也可以这样定义：若存在 $k$ 阶子式不为零，而任意 $k+1$ 阶子式 (如果有的话) 全为零，则 $r(A)=k$，且：

$$r\left(A_{n\times n}\right)=n\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\Leftrightarrow A\text{可逆}$$

即：矩阵秩的本质，就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数

概念

• 解释：
• 如果一个向量，可以找到其基准向量、其所有内容可以使用基准向量表示出来；
• 基准向量当中成员的个数，就是矩阵的秩；
• 意义：
• 比如秩为 1：
• 这个矩阵所形成的一个世界是一维的；
• 一维不仅是一个 x 轴；

4.1.2 矩阵和行列式区别

1、行列式的本质是线性变换的放大率，而矩阵的本质就是个数表。

2、行列式行数=列数，矩阵不一定（行数列数都等于n的叫n阶方阵），二者的表示方式亦有区别。

3、行列式与矩阵的运算明显不同

（1） 相等：只有两个同型的矩阵才有可能相等，并且要求对应元素都相等；而两个行列式相等不要求其对应元素都相等，甚至阶数还可以不一样，只要两个行列式作为两个数的值是相等即可。

（2）加（减）法：两个矩阵相加（减）是将其对应元素相加（减），因此只有同型的矩阵才可以相加（减）；而两行列式作为两个数总是可以相加（减）的。

（3）  数乘运算：一个数乘以矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提取公因数也是如此。

（4）  乘法：矩阵的乘法不满足交换律，所以，一般地，   AB≠BA。但是，如果 A与 B 都是 n 阶方阵，则有 |AB|=|A| |B|=|B| |A|=|BA|。

4.2 矩阵的定义

定义： #矩阵

<font color="#ccc1d9">描述： $\text{由}m\times n\text{ 个数}a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)\text{排成的}m\text{行}n\text{列的矩形表格}$：

$$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$$

其称为一个 $m\times n$ 矩阵，简记为 $A$ 或 $\left(a_{ij}\right)_{m\times n}\left(i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,m;\: j=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,n\right).$

当 $m=n$ 时，称 $A$ 为 $n$ 阶方阵；

两个矩阵 $A=\left(a_ij\right)_{mxn},\boldsymbol{B}=\left(b_{ij}\right)_{sxk}$，若 $m=s,n=k$,则称 $A$ 与 $\boldsymbol B$ 为同型矩阵.

解释

• 补充：为什么要研究方阵
• 实际情况中，使用矩阵时经常需要使用到非方阵，经常不是方形；
• 但如果要使用逆矩阵等性质时，又必须要基于方阵来求；
• 所以就需要经常使用 $AA^T$ 来得到非方阵矩阵的方阵形式；
• 同型矩阵：
• A 和 B 的行和列数量相等；

4.3 矩阵运算

分析：如何计算矩阵

• 1. 先看其是不是 秩 1 矩阵
• 2. 如果不是 秩 1 矩阵 ，此时可以考虑试算一下其平方或三次方；
• 举例：$\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\right)^4=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$ 即单位阵 <- 经过四次运作，变成了单位阵；
• 3. 如果按照矩阵可以分成合的分解，可以将矩阵进行分解

4.3.1 矩阵基本运算

运算：相等

• $$A=(a_ij)_{m\times n}=B=(b_i)_{s\times k}\Leftrightarrow m=_S,n=k$$
• 且 $a_{ij}=b_j(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$,即 $A,B$ 是同型矩阵，且对应元素相等.

运算：加法

• 两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即：
• $$C=A+B=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}+\left(b_{ij}\right)_{m\times n}=\left(c_{ij}\right)_{m\times n}$$
• $\text{其中,}c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n),\text{ 即对应元素相加}$

运算：数乘

• 每一个元素都需要乘；
• $$\begin{aligned}kA=Ak=&k\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{bmatrix}\\&=\left(ka_{ij}\right)_{m\times n}\end{aligned}$$

运算：运算律 - 数乘/加具有交换律、结合律、分配律

1. $交换律：A+B=B+A;$
2. $结合律：\left(A+B\right)+C=A+\left(B+C\right);$
3. $分配律：k\left(A+B\right)=kA+kB,\left(k+l\right)A=kA+lA$
4. $数和矩阵相乘的结合律：k\left(lA\right)=\left(kl\right)A=l\left(kA\right).$

其中，A，B，C 是同型矩阵，k, l 是任意常数

4.3.2 矩阵乘法运算

定理： #矩阵乘法

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：矩阵的乘法设 $A$ 是 $m\times s$ 矩阵，$B$ 是 $s\times n$ 矩阵 (矩阵 $A$ 的列数必须与矩阵 $B$ 的行数相等 ), 则 $A$ , $B$ 可以相乘，乘积 $AB$ 是 $m\times n$ 矩阵，记 $C=AB=(c_ij)_{m\times n}$

$C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行的 s 个元素与 $B$ 的第 $j$ 列的 $s$ 个对应元素两两乘积之和，即：

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$$

解释

• 本质：
• 两个矩阵相乘，实际上体现了一种运算：左边矩阵的每一行，乘以右边矩阵的每一列，而且每一行乘以每一列都是向量的内积（点积运算）
• 内积的结果，可以体现两个向量的大小，还可以体现两个向量的夹角的余弦；
• 计算：
• 核心：左边的决定行，右边的决定列；
• 是一种多行乘多列的类型，需要将 A 矩阵中的每一列乘以 B 中的每一行；
• 因为是以 A 的列中每个乘以 B 中行的每个，因此 A 的列数需要和 B 的行数相等；
• 即：矩阵的乘法得到的结果中的每个元素，都是内积的结果；
• $$\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)^{T}\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)=\left(\begin{matrix}\alpha_{1}^{T}\\\alpha_{2}^{T}\end{matrix}\right)\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)=\left.\left(\begin{matrix}(\alpha_{1},\alpha_{1})&(\alpha_{1},\alpha_{2})\\(\alpha_{2},\alpha_{1})&(\alpha_{2},\alpha_{2})\end{matrix}\right.\right)$$
• 举例：
• 1. 多行乘多列：$\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}(b_{1}b_{2}b_{3})=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}$

运算：乘法运算的运算律

• 运算律：
• 1. 结合律：满足
• 2. 分配律：满足
• 3. 数乘与矩阵乘积的结合律 -> $(kA_{m\times s})B_{s\times n}=A_{m\times s}(kB_{s\times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})$
• 不能用的：不满足交换律、不能使用消去律
• 1. 矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即 AB≠BA
• 比如：ABC 和 BAC 是不一定相等的；
• 2. $存在A\neq O,B\neq O,而AB=O的情况,故AB=O\nRightarrow A=O或B=O$
• 3. $AB=AC\Rightarrow A(B-C)=O,此时即使有A\neq O,一般也得不出B=C$

运算：乘法运算的其他规律

• （1）$\begin{aligned}&(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\neq A^2+2AB+B^2,\\&(A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2\neq A^2-2AB+B^2,\end{aligned}$
• （2）$\begin{aligned}&(A+B)(A-B)=A^{2}+BA-AB-B^{2}\neq A^{2}-B^{2},\\&(AB)^{m}=\overbrace{(AB)(AB)\cdots(AB)}^{m\uparrow}\neq A^{m}B^{m}.\end{aligned}$
• （3）重要：A 的多项式
• $若f\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+\cdotp\cdotp\cdotp+a_{m}x^{m},\text{则}：f(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m$

4.3.3 转置矩阵

定义： #转置矩阵

<font color="#ccc1d9">描述： $\text{将 }m\times n\text{ 矩阵 }A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}\text{的行与列互换得到的}n\times m\text{矩阵,称为矩阵 }A\text{ 的转置矩阵}，记为A^T，即：$

$$A^{T}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$$

解释

• 第 n 行写到第 n 列；
• $A^{T}A$：
• $$\left.A^{T}A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\end{matrix}\right.\right)_{3{2}}\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{12}&a_{23}\end{matrix}\right)_{{2}{3}}$$
• 假设 $\alpha_1=({a_{11},a_{21}})$ ，其他其次类推，则得到：
• $$\left.\left(\begin{matrix}(\alpha_{1},\alpha_{1})&(\alpha_{1},\alpha_{2})&(\alpha_{1},\alpha_{3})\\(\alpha_{2},\alpha_{1})&(\alpha_{2},\alpha_{2})&(\alpha_{2},\alpha_{3})\\(\alpha_{3},\alpha_{1})&(\alpha_{3},\alpha_{2})&(\alpha_{3},\alpha_{3})\end{matrix}\right.\right)$$
• 这是一个格拉姆矩阵 -> $A^{T}A$

运算：转置矩阵的运算律

• $${(1)}\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=A;\quad{(2)}\left(kA\right)^{\mathrm{T}}=kA^{\mathrm{T}};\quad{(3)}\left(A+B\right)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}};\quad{(4)}\left(AB\right)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$$
• 重要：穿脱原则
• $(AB)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}$
• 从左到右乘，等于从右到左写：$\left(ABC\right)^{T}=C^{T}B^{T}A^{T}$

4.3.4 方阵的行列式

定义： #方阵的行列式

<font color="#ccc1d9">描述： $\text{当用}n\text{ 阶方阵}A\text{ 计算行列式时,记成}|A|$；

1. $|kA|=k^{n}|A|\neq k|A|(n\geqslant2,k\neq0,1)$

2. $\text{一般地,}\left|A+B\right|\neq\left|A\right|+\left|B\right|$

3. 注意：$A\neq0\Rightarrow|A|\neq0$

4. $A\neq B\Rightarrow\left|A\right|\neq\left|B\right|$

5. $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=\left|A\right|$

6. $\text{设}A,B\text{是同阶方阵,则}|AB|=|A||B|$

4.4 几种重要矩阵

4.4.1 基本矩阵形式

矩阵一：零矩阵

• 定义：每个元素均为零的矩阵，记为 $O$

矩阵二：单位矩阵

• 定义：
• 主对角线元素均为 1, 其余元素全为零的 n 阶方阵, 称为 n 阶单位矩阵，记成 $E$ 或 $I$
• 注意：E 的写法
• 如果是 $A_{32}$ 与 $B_{23}$
• 此时：若要计算 E-AB
• 则 $E$ 要写成 $E_{3}$
• 此时：若要计算 E-BA
• 则 $E$ 要写成 $E_{2}$

矩阵三：数量矩阵

• 定义：
• 数 k 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵
• 公式：
• $k\cdot E_{n}=\left.\left(\begin{matrix}k&\\&k&\\&&k\end{matrix}\right.\right)$
• 特征：
• 数量矩阵和任何的矩阵相乘都是可以交换的：$k\cdot E\cdot A=A\cdot kE$

矩阵四：(重点) 对角矩阵

• 定义：
• 非主对角线元素均为零的矩阵称为对角矩阵；
• 即：主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵
• 这是矩阵的最简形式，大量的矩阵不能化成这个矩阵；
• 公式：
• $A=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}$

矩阵五：上(下)三角矩阵

• 定义：
• 当 $i>j$ 或 $i<j$ 是，$a_{ij}=0$ 的矩阵称之为上三角矩阵或者下三角矩阵；

矩阵六：(重要) 对称矩阵

• 定义：
• $$\text{满足条件}A^\mathrm{T}=A\text{ 的矩阵}A\text{称为对称矩阵,}A^\mathrm{T}=A\Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}$$
• 概念：
• 如果一个矩阵转置之后还是它自己，则称其为对称矩阵；
• 对称阵天生性质很多，适合进行数学上的分析；
• 举例：
• $$\left(\begin{matrix}1&-2&1\\-2&0&3\\1&3&-1\end{matrix}\right)$$
• 结论：
• $\left(A^{T}A\right)^{T}=A^{T}\left(A^{T}\right)^{T}=A^{T}A$
• 所以：$A^{T}A$ 必定是一个对称矩阵。可以使用对称矩阵的形式；

矩阵七：反对称矩阵

• 定义：
• 满足 $A^T=-A$ 的矩阵 $A$ 称之为反对称矩阵；
• 公式：
• $A^{\mathrm{T}}=-A\Leftrightarrow\begin{cases}a_{ij}=-a_{ji},i\neq j,\\a_{ii}=0.\end{cases}$
• 概念：
• 反对称阵的主对角线一定都是零；
• 举例：
• $\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&3\\-1&-3&0\end{pmatrix}$

矩阵八：行矩阵

• 只有一行元素的矩阵，也称行向量；
• 实际上就是一行多列；

矩阵九：列矩阵

• 只有一列元素的矩阵，也称列向量；
• 实际上就是多行一列；
• 补充：
• 一般写向量，一般都是写成列向量；
• 需要把向量写成转置，才能使行向量；
• 补充：$\alpha^T\alpha$ 和 $\alpha\alpha^T$
• $\alpha^T\alpha$ ：1n 和 n1 相乘 -> 得到 1*1
• $\alpha\alpha^T$：n1 和 1n 相乘 -> 得到 n*n

补充：秩 1 方阵

• 举例：
• 已知 $\left(\begin{matrix}-1&-1&2\\2&2&-4\\1&1&-2\end{matrix}\right)$ 要找回到 $\left(\begin{matrix}-1\\2\\1\end{matrix}\right)\left(1\quad 1\quad -2\right)$，此时必须要其数值成比例；
• 这种矩阵就是秩 1 矩阵；
• 这个矩阵当中，另外两个向量都可以由 (1.1,-2) 这个向量乘以 2 和 -1 表示出来 -> 即：其基准向量是一个；
• 所以其是三维向量当中的一个子空间；
• 注意：
• 并不是秩为 1 的矩阵就是秩 1 矩阵；
• 性质：
• 对于秩 1 方阵 A，其 $A^n=[tr(A)]^{n-1}$
• 比如： $A^3B=AAAB=[tr(A)]^2AB$

补充：矩阵的迹

• 概念：
• 矩阵的主对角线之和，称之为矩阵的迹；
• 符号：
• tr

4.4.2 分块矩阵

概念：矩阵的分块

• 概念：
• 用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块；
• 把子块看作原矩阵的一个元素，就得到了分块矩阵；
• 分块可以体现矩阵里面的一些规律，此时就可以利用这些分块、简化计算；
• 比如：$C=\left(\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix}\right)$
• 按 A 进行按行分块：
• $$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\hline a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\hline a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\A_2\\\vdots\\A_m\end{bmatrix}$$
• 按 B 进行按列分块：
• $$B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_1,B_2,\cdots,B_n\end{bmatrix}$$

运算：分块矩阵的基本运算（以 2*2 举例）

• 加法：$\text{同型,且分法一致,则}\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix}$
• 注意：两个矩阵的切法必须一致，此时就等于每个元素对应相加；
• 数乘：$k\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA&kB\\kC&kD\end{bmatrix}$
• 乘法：$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X&Y\\Z&W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\CX+DZ&CY+DW\end{bmatrix},\text{要可乘、可加}$
• 概念：
• 分块之后，将其当元素看，相当于两个 2*2 的矩阵相乘；
• 注意：
• 因为是矩阵运算，没有交换律，因此得到的结果，比如 $AX+BZ$，其顺序不能变化，不能写成 $XA+BZ$
• 注意：
• 对于乘法的运算要注意，分块相乘后，左边的矩阵仍在左边，右边的矩阵仍在右边；
• 若 A, B 分别为 m, n 阶方阵，则分块对角矩阵的幂为；
• 补充：
• $\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}A^n&O\\O&B^n\end{bmatrix}$

4.5 矩阵的复合变换

举例：矩阵的复合变换

• 概念：
• 矩阵需要从右往左读，因为函数写在变量左侧：f(g(x))
• 举例：
•