Lecture 5：矩阵的逆

5.1 逆矩阵的定义

定义： #逆矩阵

<font color="#ccc1d9">描述：A、B 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵；若 AB=BA=E，则称 A 是可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记为 $A^{-1}$

解释

• 矩阵和其逆矩阵相乘等于单位阵；

定义： #逆矩阵的充分必要条件

<font color="#ccc1d9">描述：A 可逆的充分必要条件是 $|A|$ 不等于 0；

解释

• 矩阵的测度不等于 0，那么就有逆矩阵；
• 因为 $a^{-1}=\frac{1}{a}$，而分母不能等于零，所以逆矩阵的充分必要条件为测度不为 0；

定义： #互逆

<font color="#ccc1d9">描述：一阶： $$A^{-1}A=E$$

解释

5.2 逆矩阵的性质和重要公式

性质：逆矩阵的性质

• 1. $(A^{-1})^{-1}=A$
• 2. 若 k 不等于 0，则 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
• 转置矩阵时：$(kA)^T=kA^T$
• 转置矩阵时：$|kA|=k^n|A|$
• 3. AB 也可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• 4. $A^{\mathrm{T}}\text{也可逆,且}(A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}$
• 5. $\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$
• 因为：$|A^{-1}A|=|E|\rightarrow|E|=|A^{-1}||A|$ 即：$|A^{-1}|$ 和 $|A|$ 互为倒数；

注意：$A+B\text{不一定可逆,且}\left(A+B\right)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$

• $\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$
• $\vert A+B\vert$ 不等于 $\vert A\vert+\vert B\vert$

补充：逆矩阵与分块矩阵结论

• $$\left.\left(\begin{matrix}a&0\\0&b\end{matrix}\right.\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}a&-1&0\\0&b^{-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A&0\\0&B\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}A&-1&0\\0&B^{-1}\end{matrix}\right)\\\left(\begin{matrix}0&a\\b&0\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}0&b^{-1}\\a^{-1}&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&A\\B&0\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}0&B^{-1}\\A^{-1}&0\end{matrix}\right)$$

5.3 用定义法求可逆矩阵的逆矩阵

5.3.1 方法一：定义法

方法：定义进行求解，即求一个矩阵 B，使 AB=E，则 A 可逆，且 $A^{-1}=B$

5.3.2 方法二：乘积法

方法：将 A 分解成若干个可逆矩阵的乘积. 因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若 A=BC，其中，B、C 均可逆，则 A 可逆，且：

• $$A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}$$