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Lecture 52：傅里叶级数

考研数学学习笔记：Lecture 52：傅里叶级数。保留原始公式、图示与例题。

数学 · 2024-05-16约 2 分钟阅读
考研数学高等数学无穷级数
本页目录

本节内容概要

  • (一) 傅里叶系数与傅里叶级数
  • (二) 收敛定理
  • (三) 函数展开为傅里叶级数

常考题型与典型例题

  • 题型一：有关收敛定理的问题
  • 题型二：将函数展开为傅里叶级数

52.0 基础知识

三角函数的正交性

概念：三角函数的正交性

  • 概念：三角函数系集合
  • $(0,1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x...)$
  • 正交性：
  • 两个函数的内积，积分为 0 时、表述两个函数正交
  • 三角函数的正交性：

从三角函数系中，取两个不同的、范围在 $[-\pi,\pi]$ 上的函数进行内积，得到的积分为 0；

  • 举例：
  • 不同时：
  • $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx \mathrm{d}x =0\quad n\neq m$$
  • $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mxdx=0\quad n\neq m$$
  • 相同时：
  • $$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx·\cos nx dx=\pi $$

概念：周期为 $2\pi$ 的函数展开

  • 用函数表达周期为 $2\pi$ 的函数
  • $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos nx + \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\sin x$$
  • 把 n=0 拿出来：$$=a_{0}\cos 0x+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin x+b_{0}\sin 0x+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin nx$$
  • 即得到 $$a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin nx$$
  • 且 $$a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$
  • 求系数：
  • Pasted image 20240904144914
  • $$a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\bar{n}}^{\pi}f(x)\cos nx dx$$

52.1 傅里叶系数与傅里叶级数

52.1.1 基本概念

定义： #傅里叶系数
<font color="#ccc1d9">描述： $$a_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$

解释

  • 可以利用上述公式，来求给定 n 式的系数；
定义： #傅里叶级数
<font color="#ccc1d9">描述：f 的傅里叶级数：$$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

解释

  • 概念：
  • 以上式子是否能展开、取决于上述式子中的 ~ 是否能写成等号；
  • 而其是否能展开、需要使用收敛定理来判断；
  • 解释：
  • ~
  • 意味着除开某些有限点外（间断点、端点），其他点都符合公式中的性质；
  • $\frac{a_0}2$
  • 在波动当中，表示直流分量；
  • $(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$：
  • 在波动当中，表示交流分量；
  • 注意：偶函数展开式只有余弦项，奇函数展开式只有正弦项；
  • 作用：
  • 比如：
  • 原本一个代表高低电平的信号，此时可以使用一个 sinx 来逼近它；
  • 加一个 sinx 时是 1 harmonic，加三个 sinx 时是 3 harmonic，越加越多时、其值越来越接近谐波；
  • 总结：
  • 此例子体现了傅里叶级数的作用：用一个周期的级数展开式，来逼近一个周期性的量：
  • 图示：
  • Pasted image 20240517001116

52.1.2 收敛定理

定理： #狄利克雷定理
<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： 设 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $[-π,π]$ 上处处收敛，且收敛于：
$$1)\quad S(x)=f(x)\quad\text{当}x\text{ 为 }f(x)\text{ 的连续点}.$$
$$2)\quad S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}2\quad\text{当 }x\text{ 为 }f(x)\text{ 的间断点}.$$
$$3)\quad S(x)=\frac{f((-\pi)^+)+f(\pi^-)}2\quad\text{当 }x=\pm\pi.$$

解释

  • 概念：
  • 核心：
  • 此定理揭示了傅里叶级数能够展开的前提条件：除开收敛到端点和有限个间断点外，其他都是收敛连续函数 $f(x)$ -> 几乎处处收敛为 f(x)；
  • 解释：
  • （1） -> 连续点时，展开后的级数就是收敛于函数 f(x)；
  • （2） -> 间断点时，展开后的级数收敛于间断点的左右函数值的平均值；
  • （3） -> 左右端点时，展开后的级数收敛于两个端点的平均值；
  • 作用：
  • 将函数展开为傅里叶级数的要求更低；
  • 在幂级数当中，需要函数为可导、可积，而在傅里叶级数这里只需要函数连续 -> 适用范围更广；
  • 适用范围对比：
  • 傅里叶级数 -> 主要作用于研究周期性的量，如工程领域里面的波动理论；
  • 幂级数 -> 主要用于数值计算，如微积分当中；

52.2 函数展开为傅里叶级数

目的：研究函数展开为傅里叶级数时，系数的情况

52.2.1 周期函数的展开：特殊情况

概念介绍：周期为 $2\pi$ 的函数展开

  • （1）在 $[-\pi,+\pi]$ 上展开：一般展开
  • $$a_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
  • （2）在 $[-\pi,+\pi]$ 的展开：奇偶函数的展开
  • 1. $f(x)$ 为奇函数：
  • $$a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
  • 解释：因为 $\cos x$ 是偶函数，并且在 $a_n$ 中，所以当 $f(x)$ 为奇函数时，奇函数*偶函数=奇函数，所以 $a_n$ 变为 0，$b_n$ 变为两倍。其他情况同理；
  • 2. $f(x)$ 为偶函数：
  • $$a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots $$
  • （3）在 $[0,+\pi]$ 上展开：展开为正弦或余弦
  • 分析：
  • 这种是在半个周期上的展开，所以在分析时，需要做延拓；
  • 奇函数展开：只有正弦项。因为如果只给了 $[0,+\pi]$ ，则如果需要在 $[-\pi,+\pi]$ 上做奇函数展开、只有正弦项 -> 奇延拓；
  • 在展开为正弦时，理论上需要做奇延拓，但实际上直接使用奇函数的展开式即可；
  • 同理偶延拓；
  • 1. 展开为正弦：
  • $$a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
  • 2. 展开为余弦：
  • $$a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots $$

52.2.2 周期函数的展开：一般情况

概念介绍：周期为 $2l$ 的函数展开

  • （1）在 $[-l,+l]$ 上展开
  • $$a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
  • （2）在 $[-l,+l]$ 上展开：奇偶函数
  • $$\text{i)}f(x)\text{ 为奇函数}.\quad\quad \\a_n=0,n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$
  • $$\begin{aligned}&\text{ii)}f(x)\text{ 为偶函数}.\\&{a_n}=\frac2l\int_0^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&&n=1,2\cdots\end{aligned}$$
  • （3）在 $[0,l]$ 上展开：展开为正弦或余弦
  • $$\begin{aligned}&\text{i)展为正弦}\\&a_{n}=0,&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=1,2\cdots\end{aligned}$$
  • $$\begin{aligned}&\text{ii)展为余弦.}\\&a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&n=1,2\cdots\end{aligned}$$

52.3 常考题型

题型： #狄利克雷收敛定理

PART 1：解题方法

题型：已知 $b_n$ 和 $S(x)$ 的函数，求在某点处、$S(x)$ 收敛于什么值

  • 概念：因为需要求收敛于和函数的什么位置，所以需要先使用收敛定理判断、是否满足收敛定理的条件；
  • 注意：如果是在 $(0,l)$ 或 $(0,\pi)$ 上时，注意是否要延拓；

PART 2：典型例题

PART 3：知识点复盘

题型： #将函数展开为傅里叶级数

PART 1：解题方法

知识点：展开傅里叶级数的步骤

  • 1. 求 $a_0$ 、算系数，写出其傅里叶级数：$\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$；
  • 2. 利用收敛定理，判断傅里叶级数在哪些地方可以和原函数画等号，哪些不能、收敛到什么地方；

PART 2：典型例题

例题：将 $f(x)=x-1$ (x<=x<=2) 展开为周期为 4 的余弦级数；

  • 分析
  • 因为 T=4 -> $l=2$
  • 解析
  • 第一步：写出傅里叶级数
  • $$a_0=\frac22\int_0^2(x-1)dx=0$$
  • $$a_n=\frac22\int_0^2(x-1)\cos\frac{n\pi x}2dx=\frac2{n\pi}\int_0^2(x-1)d\sin\frac{n\pi x}2=-\frac2{n\pi}\int_0^2\sin\frac{n\pi x}2dx \left.=\frac4{n^2\pi^2}[\left(-1\right)^n-1]=\left\{\begin{matrix}0,&n=2k,\\-\frac8{\left(2k-1\right)^2\pi^2},&n=2k-1\end{matrix}\right.\right.(k=1,2,\cdots).$$
  • $$f(x)=-\frac8{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(2n-1\right)^2}\cos\frac{(2n-1)\pi x}2$$
  • 注意：
  • 用收敛定理，是在延拓之后的 $(-l,+l)$ 函数上进行的；

PART 3：知识点复盘

知识点：求常数项级数的和 -> 三种方法；

  • （1）常数项级数的定义；
  • （2）幂级数；
  • （3）傅里叶级数；