Lecture 53：向量代数

53.1 数量积

定理： #向量代数的数量积

描述：

$$1\text{)几何表示: }\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\cos\alpha $$

$$2\text{)代数表示:}\quad\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}_xb_x+\mathbf{a}_yb_y+\mathbf{a}_zb_z$$

$$3\text{)运算规律:}\quad 交换律：\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} \quad \text{分配律: }\mathbf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$$

$$4\text{)几何应用:}\quad 求模：|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\cdot\mathbf{a} \quad \text{求夹角: }\cos\alpha=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\quad \text{判定两向量垂直:}\mathbf{a\perp b\Leftrightarrow a\cdot b=0}$$

53.2 向量积

定理： #向量代数的向量积

描述：

$1. \text{几何表示:}\quad\mathbf{a}\times\mathbf{b}\text{ 是一向量}.\quad\text{模}:\mid\mathbf{a}\times\mathbf{b}\mid=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\sin\alpha$

$2. \text{代数表示:}\quad{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$

$3. i) a\times b= - ( b\times a) \quad ii)分配律：a\times(b+c)=a\times b+a\times c$

$4. 运算规律：i)求同时垂直于 a 和 b 的向量: a×b\quad ii)求以 a 和 b 为邻边的平行四边形面积:S=|a×b|\quad iii)判断两向量平行：\mathbf{a//b}\Leftrightarrow\mathbf{a\times b}=0$

解释

几何表示 -> 右手法则 -> 垂直于 $a,b$ 向量的一个直线；
注意：
数量积满足交换律，向量积不满足交换律；

53.3 混合积

定理： #向量代数的混合积

描述：

基本表述：$\left[ abc \right] = (a \times b) \cdot c$

定义： $$\ a = a_xi + a_yj + a_zk \\ b = b_xi + b_yj + b_zk \\ c = c_xi + c_yj + c_zk$$

性质：

（1）$$(a\times b)\cdot c = a\cdot(b\times c) = b \cdot (c\times a)$$

$$轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)\quad 交换变号：(\mathbf{abc})=-(\mathbf{acb})$$

（2）$$\begin{aligned}(a\times b)\cdot c=-(b\times a)\cdot c\\(a\times b)\cdot c=-(c\times b)\cdot a\\(a\times b)\cdot c=-(a\times c)\cdot b\end{aligned}$$

（3）$$a\text{、}b\text{、}c\text{三向量共面}\Leftrightarrow[abc]=0$$

几何意义：

1. 向量的混合积 $[abc]=(a\times b)\cdot c$ 的绝对值在数值上等于以向量 a、b、c 为棱的平行六面体的体积

2. $V_\text{平行六面体}=|\mathrm{(abc)}|$