Lecture 54：空间平面与直线

54.1 平面与直线方程

54.1.1 平面方程

定义： #平面方程

<font color="#ccc1d9">描述：

$1\text{)一般式:}\quad Ax+By+Cz+D=0.\quad\mathbf{n}=\{A,B,C\}$

$2\text{)点法式:}\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$3\text{)截距式:}\quad\frac xa+\frac yb+\frac zc=1$

54.1.2 直线方程

定义： #直线方程

<font color="#ccc1d9">描述：

$$1)\text{一般式:}\quad\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$$

$$2)\text{对称式:}\quad\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$$

$$3)参数式：x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt.$$

54.2 距离关系

54.2.1 平面与直线的位置关系

核心：平面 -> 看法线向量；直线 -> 看方向向量

54.2.2 点到面的距离

概念：点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cy+D=0$ 的距离

• $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

54.2.3 点到直线距离

概念：$\text{点 }({x_0,y_0,z_0})\text{ 到直线 }\frac{x-x_1}l=\frac{y-y_1}m=\frac{z-z_1}n$

• $$d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\}\times\{l,m,n\}|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\quad J}$$