Lecture 51：函数展开成幂级数
考研数学学习笔记：Lecture 51：函数展开成幂级数。保留原始公式、图示与例题。
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51.1 函数展开成幂级数
51.1.1 泰勒级数
为什么要展开成幂级数
- 有些函数没有初等原函数，例如 $e^{x^2}$；把函数展开成幂级数后，可以逐项求导或积分。
- 幂级数也适合数值近似。例如
$$
e^{0.2}=1+0.2+\frac{0.2^2}{2!}+\frac{0.2^3}{3!}+\cdots.
$$
取有限项即可得到所需精度的近似值。
定理： 函数的幂级数展开
若函数 $f(x)$ 在区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 内可以展开成 $x-x_0$ 的幂级数，则展开式唯一，并且必为 $f$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数：
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.
$$
定理： 泰勒级数的收敛性
设 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内具有所需阶数的导数。泰勒公式为
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x).
$$
采用拉格朗日余项时，
$$
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},
$$
其中 $\xi$ 位于 $x$ 与 $x_0$ 之间。对给定的 $x$，当且仅当 $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$ 时，$f$ 的泰勒级数在该点收敛到 $f(x)$。
51.1.2 常用幂级数展开式
$$
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\qquad |x|<1.
$$
$$
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n,\qquad |x|<1.
$$
$$
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad x\in\mathbb R.
$$
$$
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad x\in\mathbb R.
$$
$$
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\qquad x\in\mathbb R.
$$
$$
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n,\qquad -1<x\le1.
$$
$$
(1+x)^\alpha
=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots,\qquad |x|<1.
$$
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x),\qquad -1\le x<1.
$$
端点是否收敛需要单独判断，不能只根据开区间内的展开式直接下结论。
51.1.3 两种展开方法
方法一：直接展开
- 计算 $f^{(n)}(x_0)$，写出形式上的泰勒级数：
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.
$$
- 检查余项是否满足 $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$，并确定收敛区间。
方法二：间接展开
从已知展开式出发，通过四则运算、逐项求导、逐项积分或变量代换得到目标函数的幂级数。进行逐项运算时，必须同时保留新的收敛区间并检查端点。
51.2 常考题型
题型一： 将函数展开为幂级数
- 一般先尝试间接展开，因为逐阶求导往往计算量较大。
- 在 $x=x_0$ 处展开时，应把表达式整理成 $x-x_0$ 的函数。
- 例如在 $x_0=\frac{\pi}{4}$ 处展开 $\sin x$，先令 $u=x-\frac{\pi}{4}$：
$$
\sin x
=\sin\left(\frac{\pi}{4}+u\right)
=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos u+\sin u\right),
$$
再分别使用 $\cos u$ 与 $\sin u$ 的 Maclaurin 展开式。
常用变形
为了使用几何级数，经常把式子化为
$$
\frac{1}{1-u(x)}
\quad\text{或}\quad
\frac{1}{1+u(x)},
$$
并先确认 $|u(x)|<1$。
题型二： 级数求和
已知的幂级数展开式可以反向用于求和。例如
$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots,\qquad |x|<1,
$$
以及
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x),\qquad -1\le x<1.
$$
求和时通常先通过逐项求导或积分，把待求级数变形成已知展开式，再根据初值确定积分常数。