Lecture 56：幂级数

本节内容概要

（一）收敛半径、收敛区间、收敛域
（二）幂级数的性质
（三）函数的幂级数展开

本节常考题型

题型一：求收敛半径、收敛区间及收敛域
题型二：将函数展开为幂级数
题型三：级数求和
难点
重点

50.1 幂级数

50.1.1 基本概念

数列：每一项只和 n 有关

数列： $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n}$
无穷级数：$u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots$

函数列：每一项和 n 以及 $x$ 有关

假设 x 在区间 $I$ 上；
函数列： $u_{1}(x), u_{2}(x), u_{n}(x),\cdots$
函数项无穷级数：$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$

定义： #幂级数

描述：

常见形式： $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots $$

一般形式：$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots $$

解释

概念：
每一项都是 x 的正整数幂：幂级数： $a_{0}a_{1},a_{2}x^{2}\cdots a_{n}x^{n}\cdots$
幂级数其实是函数项级数的最简单的一种，$x^{n}$ 就是 x 的函数，$a_n$ 就是一列数；
$a_0,a_1,a_2...a_n$ 称之为系数；
补充：
一般研究常见形式，因为一般形式可以用 $x-x_0=t$ 化成常见形式；

50.1.2 收敛与发散

定义： #收敛点与发散点

描述：

1. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 收敛，则称 $x_o$ 为收敛点，如果是一段区间则称之为收敛域；

2. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 发散，则称 $x_o$ 为发散点，如果是一段区间则称之为发散域；

3. $S\left (x\right)=u\left (x\right)+u_{2\left (x\right)}+\cdots+u_{n}\left (x\right)+\cdots$ 称之为和函数，$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=S\left(x\right)$；

解释

一般就是求两个问题：收敛域是什么？和函数是什么？

举例

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots$
此时：
$|x|<1\text{时，收敛城(-1,1)}\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-x}$
$|\times|\geq1 时，发散域(-\infty,-1)|U[1,+\infty]$

定理： #阿贝尔定理

描述：

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx ，当x=x_0 时收敛,|x|<|x_0|时幂级数绝对收敛$$

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx ，当x=x_0 时发散,|x|>|x_0|时幂级数发散$$

解释

定理的作用：
揭示了当前幂级数的收敛、发散的域的结构 -> 将求收敛域的问题、转化成了求整个区间一般长度的问题 -> 也就是求收敛半径 R ；
绝对收敛：
在 $|x|<|x_0|$ 时，此时在这个区间内的点，也都收敛 -> 离原点更近的点收敛；
发散：
在 $|x|>|x_0|$ 时，此时在这个区间外的点，也都收敛 -> 离原点更远的点发散；
总结：
1. 收敛点和发散点的分界点 -> 就是收敛半径 R
2. 两个级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}$ ，如果它们的 $a_n$ 一样，则它们有共同的收敛半径 R；
注意：
收敛区间不需要关注端点；
收敛域需要关注端点；

补充：收敛区间和收敛域

收敛区间：
$(-R,+R)$
收敛域：
包括端点在内：$\pm R$
分别判断两个端点的值后，得到的区间；

补充：关于 $x$ 不等于 $x_0$ 时的收敛域

前提：
根据 <总结-1> 可知，$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}$ 的收敛半径 R 一样；
概念：
收敛区间：
对 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 而言，其中心在 x=-2 点，因此假设其收敛点在 x=0 处时，其收敛半径为 0-(-2)=2 ，因此其收敛区间就是：
$$收敛区间：(x_0-R,x_0+R)\rightarrow (-2-2,-2+2)\rightarrow (-4,0)$$
端点收敛性不变性：
因为两个级数的 $a_n$ 项相同，所以这两个级数的收敛域的两个端点同敛散性；

定理： #幂级数的收敛情况

描述：幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx$ 的收敛性有且仅有三种可能：

（1）对任何 x 属于 $(-\infty ,+\infty)$ 都收敛；

（2）只在 $x=0$ 处收敛；

（3）存在一个正数 R 当 $|x| < R$ 时绝对收敛，当 $|x|>R$ 时发散；

注意：若幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx$ 在点 $x=x_0$ 处条件收敛，则点 $x_0$ 必为该幂级数收敛区间 $(-R,R)$ 的一个端点；

50.1.3 收敛半径 R

定理： #收敛半径判断

描述： $$若\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho，则 R = \frac{1}{{\rho}}$$

即：此时有三种情况：$$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0\\+\infty,&\rho=0\\0,&\rho=+\infty\end{cases}$$

解释

注意：
1. 此定理只能单方向使用；
2. 收敛区间是不管端点的，即 $(-R,R)$

定理： #收敛半径判断：基于根式

描述： $$\text{如果 }\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,\text{则}\quad R=\frac1\rho $$

解释

基于根值法推导而来；

50.2 幂级数的运算

50.2.1 幂级数的运算性质

性质：有理运算性质

前提：
设
1. $\sum_n^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$
2. $\sum_n^{\infty}b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$
令 $R=\min\{R_1,R_2\}$，则当 $x\in(-R,R)$ 时：
运算性质：
（1）加法：$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n$$
（2）乘法：$$(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)\cdot(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$
且：$c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$
（3）除法：$$\frac{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$

50.2.2 幂级数的分析性质

性质：逐项求导

前提：
若 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径是 R，和函数为 $S(x)$，则：
分析性质：
（1）连续性：
$S(x)$ 在它的收敛域上 $I$ 是连续的；
（2）可导性：
$S(x)$ 在 $(-R,R)$ 上可导，且可以逐项求导，半径不变，即：
$$S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)^{\prime}=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}$$
注意：这里面级数求导之后，收敛半径没有变化，还是 R，并且通项当中还多了一个 $n$
（3）可积性：
若 $\sum_{n=0}^{\pm\infty}a_{n}x^{n}$ 的和函数 $S(x)$ 在 $I$ 上是可积的，且可以逐项积分，则：
$$\int_{0}^{x}S(x)\operatorname{d}x=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\operatorname{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_{n}x^{n}\operatorname{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_{n}x^{n+1}$$
注意：逐项求积分后的幂级数，与原幂级数的收敛半径是相同的；

50.3 常考题型

题型： #求收敛半径、收敛区间、收敛域

PART 1：解题方法

题型：求收敛半径

两种方法：
方法一：使用收敛半径判定法
方法二：使用收敛半径根值判定法
注意：缺项时
缺项：$x^{2n-1}$ ，不是 $x^n$
缺项时不能直接使用公式，如果是 $x^{2n+b}$ ，则此时都需要将根值法算得的 R 开一个 $\frac{1}{2}$ 次方；

题型：求收敛区间

方法：
想要求得收敛区间，需要先求得收敛半径；

题型：求端点的收敛性

方法：
分别将端点的 $x=\pm x_0$ 代入进去，得到关于 n 的函数式，即：当前级数的通项。此时解题方法和常数项级数一致，根据其是正项、交错级数、任意项级数，选择方法，判定；

题型：判断任意一点的收敛性

方法：
先求出当前幂级数的收敛半径（经常要使用阿贝尔定理），然后根据收敛区间，判断任意一点是否在区间内，即可得到收敛性；

PART 2：典型例题

例题：求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n-(-1)^n}{n^2}x^n$

PART 3：知识点复盘

知识点：当幂级数 $\sum_{n=0}^\infty na_nx^n$ 的 $a_n$ 旁边有 n 时

知识点：根据幂级数的逐项求导后、收敛半径不变的性质，可知 $\sum_{n=0}^\infty na_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的 R 不变；