Lecture 48：正项级数

48.1 正项级数

48.1.1 正项级数的定义

定理： #正项级数的收敛性

描述：正项 $\sum u_n$ 收敛的充分必要条件是 ${S_n}$ 有界；

即：$$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}\Leftrightarrow s_n\text{ 上有界}$$

正向级数的概念

$u_n$ 的每一项都大于 0；
并且因为正向技术的每一项都是正的，所以和是递增的：
$S_{1}\leq S_{2}\leq S_{3}\cdots$ -> $\{S_{n}\}\geq0$

解释

但这个定理几乎没什么用 -> 因为很难判断 $S_n$ 是否有界；

48.1.2 方法选择

方法

方法分类：
1. 比较审敛法
2. 比较法的极限形式
3. 比值法
4. 根值法
5. 积分判别法
方法选择：
第一类：方法 1、2
需要把当前的通项和其它已知通项进行比较；
优点：
适用范围更广泛；
只要是方法 3、4 可以做出判定的，方法 1、2 都一定可以做出判定，只是可能做起来更不方便；
缺点：
使用起来不方便；
第二类：方法 3、4
概念：
只需要自己就可以进行判断；
优点：
使用起来方便，不需要其他级数，自己就可以判断；
缺点：
有些时候，级数很明显可以看出来时发散的，但却很难用方法证明出来；
即：适用范围窄；
解题步骤：
1. 先观察是否可以直接看出来敛散性 -> 规律；
2. 在判断方法时，先考虑使用方法 3、4；
3. 如果做不出判定，再考虑 1、2；
规律：
三巨头：$$a^n\quad n!\quad n^n$$
如果这三巨头当中至少出现一个，通常就使用方法 3、4；
如果三巨头一个都不出现，此时经常出现的就是 $n^p$ 或者 $In{n}$ 的形式，此时就使用方法 1、2；

48.2 比较审敛法

48.2.1 比较审敛法定义

从问题开始

1. 如何对不等式放缩？ -> 应该是放、还是缩？
2. 和谁来比？
思路：
用极限来改进的比较审敛法；

定理： #比较审敛法

描述：如果 $\sum U_n$ 和 $\sum V_n$ 都是正项级数，且 $u_n<v_n$：

$$\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}$$

$$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$$

解释

总结：
大的收敛，小的肯定收敛；
小的发散，大的肯定发散；
反过来都不行；
使用方法：
使用之前，先进行初步判断；
如果初步判断其为收敛，则进行放大；
如果初步判断其为发散，将进行缩小；
使用前提：
两个级数都是正项级数；

补充

第一种情况时
如果 L 等于 0 -> Un 是比 Vn 更高级的无穷小，Vn 趋向于 0 的速度更快；
如果 L 大于零且小于正无穷（即为常数），则此时 Un 和 Vn 是同阶的无穷小；
如果 L 等于正无穷 -> 则 Un 无法判断，且 Un 是 Vn 的低阶无穷小；
第二种情况时
如果 L 大于 0 -> Un 发散，Vn 也跟着发散；
如果 Un 比 Vn 是正无穷，则发散性也一致，Un 是 Vn 的低阶无穷小；
如果 L 等于 0 时 -> 如果 Vn 是发散的，则 Un 也无法判断；
问题：还是得和一个 $V_n$ 来和目标函数比较，进而判断其敛散性；

和谁比

核心问题：
怎么找用于辅助判断的级数 -> 两个常用级数；

48.2.2 比较法的极限形式

定理： #比较法极限形式

描述：设 $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\left(0\leq l\leq+\infty\right)$$

若：

1. $$若0<l<+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}与\sum_{n=1}^{\infty}\nu_{n}{\text{同敛散}.}$$

2. $$\text{若 }l=0\text{,则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛,}\sum_{n=1}^\infty u_n\text{发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$$

3. $$\text{若 }l=+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散. }\sum_{n=1}^\infty u_n\text{收敛}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛}$$

解释

概念：将两个通项比大小的问题，转化为了求两个通项之比的极限的问题；

48.2.3 两个常用级数

常用级数一：P 级数

公式：
$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p} \quad\quad\quad\quad\quad P>1时收敛，P<=1时发散$$
注意：
P=1 -> 调和级数： $\sum\frac{1}{n}\quad 一定发散$
为什么 P=1 时是发散的？
本质：
收敛的本质：决定级数是否收敛的不在于求和项是否是无穷的，甚至不在于求和的大小，而是在于求和项中通项趋向于 0 的速度；
通过速度比较并不能确定一个级数发散还是收敛，但是速度变化会带来本质的变化

常用级数二：等比级数

公式：
$$\sum_{n=1}^\infty aq^n\left(a>0,q>0\right)\quad q<1\text{ 时收敛,当 }q\geq1\text{ 时发散}.$$
概念：
等比级数是否收敛，只取决于其 q 的数值，即公比决定了其敛散性；
即对于等比级数而言，如果公比 $\frac{u_{u+1}}{u_n}=q$ 存在，则其具有以上极限；

补充：调和级数的收敛性

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n-1}}+\cdots$$
$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n-1}>\underbrace{\frac1{2n}+\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}}_{n\text{项}}=\frac n{2n}=\frac12$$
调和级数的部分和，可以凑出一个与 n 无关的常数与 n 无关就意味着，无穷对它失去了意义，所以发散；

48.3 比值审敛法

48.3.1 比值法

定理： #比值审敛法

描述：如果 $\sum U_n$ 是一个正项级数，则若 $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho$$

如果 $\rho <1$，则 $\sum U_n$ 收敛；

如果 $\rho >1$，则 $\sum U_n$ 发散；

如果 $\rho =1$，则 $\sum U_n$ 无法判断，请使用其他方法；

优缺点

优点：自己和自己比，不需要找其他的函数；
缺点：如果 $\rho =1$，则方法失效；

48.3.2 根值法

定理： #根值法

描述： $$\text{设}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\text{,则}\sum_{n=1}^\infty u_n\begin{cases}\text{收敛},&\rho<1,\\\\\text{发散},&\rho>1,\\\\\text{不一定},&\rho=1,\end{cases}$$

解释

48.4 积分判别法

定理： #积分判别法

描述： $$设f(x)在[1,+\infty)上单调减，非负的连续函数，且 a_{n}=f(n)，则\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\text{ 与 }\int_{1}^{+\infty}f(x)dx同敛散性$$

解释

用的比较少，因为条件很多；

例题：证明级数 $\sum_{i=1}^\infty\frac1{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\leq1$ 时发散.

解析
设 $a_{n}=\frac{1}{n^{p}}=f(u),f(x)=\frac{1}{x^{p}}$
所以得到积分：$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$

48.5 例题

例题：$\sum\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 求其发散性质

分析
解析
$因为：n(n+1)<(n+1)^{2}$；
所以： $\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}>\frac{1}{\sqrt{(n+1)^{2}}}=\frac{1}{n+1}$
题型： #正项级数

例题：求 $\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n}$ 的敛散性

分析
首先：sin 1/n 一定是正的数；
解析
因为 $\lim_{n\to\infty}\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}=1$，其极限为 0/0 型，最后结果为 1；
所以 1>0，所以 $\sin{\frac{1}{n}}$ 和 $\frac{1}{n}$ 是同阶的；
因为 $\sum\frac{1}{n}发散，所以\sum\sin{\frac{1}{n}}发散$
题型： #比较审敛法

例题：$1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}+\cdots$，证明它是收敛的；

分析
证明
因为 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^{1}}}{\frac{1}{\left(n-n\right)!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0<1$，所以其收敛；

题型： #比值审敛法