Lecture 53：常数项级数
考研数学学习笔记：Lecture 53：常数项级数。保留原始公式、图示与例题。
本页目录
本章内容
- 第一节：常数项级数
- 第二节：幂级数
- 第三节：傅里叶级数
本节内容概要
- (一) 级数的概念与性质
- (二) 级数的审敛准则
常考题型与典型例题
- 常数项级数敛散性的判定
47.1 常数项级数基本概念
47.1.1 基础概念
定义： #常数项级数
<font color="#ccc1d9">描述： $$\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots $$
解释
- 概念：
- 常数项级数表示有无穷项，每一项都是常数；
- 因为是无穷项，所以常数项级数就是有无穷项个常数的常数项级数；
- 用 $u_{1}, u_{2},\cdots u_{n},\cdots$ 表示，$u_{n}$ 表示一般项；
- 无穷项和，是使用有限项和（部分和）取极限而得到的；
- 相加求和：
- $\sum_{i=1}^{\infty}u_{i}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$；
- 部分和
- 表示前 n 项的和；
- $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$；
定义： #常数项级数收敛
<font color="#ccc1d9">描述： $u_{1}, u_{2},\cdots u_{n},\cdots$ 表示常数项，$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ 表示前 n 项的和；
若：
$$\lim_{n\to+\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^\infty u_n$$
则当前常数项数列为收敛的，若是没有极限，则是为发散的；
解释
- 两个问题：
- 敛散性
->极限是否存在<-这个问题更为核心； - 级数的值
->极限的值；
等比数列分析：$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots+aq^{n-1}...$ ，等比数列，a 不等于 0，求其收敛性质；
- 当 q 不等于 1 时，$S_{n}=\frac{a(1-q^{n})}{1-q}$
- 当 q 小于 1 时，此时其极限即为 0 -> 收敛；
- 当 q 大于 1 时，此时其极限不存在 -> 发散；
- 如果 q 等于 1
- 若
q=1，则 $a+a+a+\cdots$，无穷个 a 相加为无限，因此发散； - 若
q=-1，则 $a-a+a-a+a-a+\cdots$ - 奇数项
->极限为 a； - 偶数项
->极限为 0； - 所以极限不存在
->发散；
47.1.2 级数的性质
基本性质
- 性质 1： $$如果\sum_{n=1}^{\infty}u_n 收敛于S，则\sum_{i=1}^{\infty}k u_n. 收敛于 kS$$
- 性质 2：
- $$如果\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}和\sum_{n=1}^{\infty}U_{n}分别收敛于 h 和 u，则\sum_{n=1}^{\infty}(H_{n}\pm U_{n})也收敛于h+u$$
- 两个收敛的级数，相加或相减后仍然收敛；
- 两个发散的级数，相加或相减后收敛性不确定；
- 两个相加减后收敛的级数，原本的级数未必是收敛的；
- 比如：
- $1+1+1+1...$ 和 $-1-1-1-1-1...$
- 相加后：$(1-1)+(1-1)+(1-1)....$
- 性质 3：
- 在级数中去掉或加上有限项，敛散性不变，值可能会变化；
- 性质 4：
- $$\sum u_n收敛，任意加括号后级数也收敛，且和不变$$
- 比如：
- $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{2}+u_{5}+u_{8}+u_{7}+u_{8}+......$
- $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},S_{5},S_{6},S_{7},S_{8}......$
- 然后加括号：$(u_{1}+u_{2})+u_{3}+(u_{4}+u_{3})+(u_{6}+u_{7}+u_{8})+\cdots$
- 括号的部分合并为：$v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}+\cdots$
- 注意：
- 1. 加括号后收敛，原级数未必收敛；
- 2. 加括号后发散的，原级数一定发散；
- 性质 5：级数收敛的必要条件
- $$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛 }\longrightarrow\lim_{n\to\infty}u_n=0$$
- 注意：
- $u_n$ 趋于 0，级数未必收敛.，所以是必要条件而非充要条件；
- 比如调和级数为发散：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$；
47.2 级数分类
分类
- 同号级数
- 正项级数
->Lecture 48：正项级数及其审敛准则 - 负项级数：就是正项级数的基础上、加一个负号；
- 变号级数：
- 特殊的变号级数：交错级数
->Lecture 49：交错级数与任意项级数 - 一般的变号级数：任意项级数
->Lecture 49：交错级数与任意项级数
题型： #常数项级数敛散性判定
PART 1：解题方法
解题步骤
- 第一步：判断级数类型
- 正项、交错、任意项
- 第二步：根据级数，选择方法
- 正项级数
->用敛散性的五类判别法，做判定； - 交错级数
->一个方法； - 任意项级数
->一个方法； - 第三步：如果无法做出判定，此时可以使用定义和性质来进行判定
- 定义和性质是适用于所有类型的级数的；
解题方法
- 考试的时候通常是考选择题，更建议使用直接法：找到对的选项，说明它对，而不是使用排除法、一个个找反例证明其他选项错；
- 如何找：对当前选项，如果是错的，直接进入下一个；如果不清楚对错的，也先进入下一个，可能正确的就在后背；
常用结论
- $$\sum_{n=1}^{+\infty}|b_{n|}收敛\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}(b_{n})^{2}收敛$$