Lecture 51：函数展开成幂级数

51.1 函数展开成幂级数

51.1.1 基本概念

为什么需要展开成幂级数

原因：
有些函数不是初等函数、不可以直接使用积分求出来它的值，比如 $e^{x^2}$ 其无法直接求出其原函数；
此时可以考虑：将其展开成幂级数，因为幂级数的每一项都很简单，因此可以被处理；
举例：比如需要求 $e^{0.2}$ 等于多少
直接求很难算出来；
但利用展开后的幂级数，计算出来就很简单： $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+$
后续的项可以近似得到，一般就用个三项、四项就够了；

定理： #函数的幂级数展开

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：

如果函数 $f(x)$ 在区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上，能展开为 $x-x_0$ 的幂级数 $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ 则，其展开式是唯一的；

并且称其为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数：$$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

解释

如果 $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 可以收敛于 $f(x)$，则称其可以展开；

定理： #泰勒级数的收敛性

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则：

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 在 (x_0-R,x_0+R) 上收敛于 f(x)\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty} R_n(x)=0.$$

其中：$$\begin{aligned}&R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\text{ 为 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处的泰勒公式}\\&f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)\end{aligned}$$

所以当 $R_n(x)$ -> 0 时，$f(x)$ 趋向于泰勒级数：$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$，即收敛于唯一的级数；

51.1.2 常用幂级数展开式

补充：几个常用的展开式

直接展开法：
（1）$$\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots =\sum^{\infty}\limits_{n=0}x^n\quad (-1<x<1)$$
（2）$$\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,|x|<1$$
（3）$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad(-\infty<x<+\infty)$$
注意：求和下标从 0 开始，(-1) 是指数是 n；
（4） $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (-\infty<x<+\infty)=\sum^{\infty}\limits_{n=0}\frac{x^n}{n！}$$
间接展开法：
（1）cosx 的展开式，是由 sinx 的展开式逐项求导而的来的：$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad(-\infty<x<+\infty)$$
（2）In(1+x) 的展开式：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}\quad(-1<x\leq1)$$
（3）(1+X)的α次方 的展开式，也是间接得到的：$$\left(1+x\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots \quad(-1<x<1)$$
(4) $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}n=-\ln(1-x)\quad(-1\leq x<1)$$
注意：
关于下标：除了 In(1+x) 是从 n=1 开始的，其他都是从 n=0 开始的；
关于 $(-1)^{n}$ 和 $(-1)^{n+1}$：只有 In(1+x) 是 n+1 ，其他都是从 n；
关于阶乘：除了 In(1+x) 的分母是非阶乘，其他带分母的都是阶乘，并且阶乘部分和幂指部分一致；
关于收敛域：三角函数和 $e^{x}$ 是负无穷到正无穷，其他都是 -1 到 +1，并且 In(1+x) 是小于等于 +1；

51.1.3 函数展开为幂级数的两种方法

方法一：直接展开法

第一步：算出这一点的 n 阶导数，代入进来，写出它的泰勒级数： $$f(x)\sim\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
第二步：$$考察\lim_{n\to\infty}R_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0 是否成立$$

方法二：间接展开法

原理：
根据函数展开为幂级数的唯一性，可知可以从某些已知函数展开式出发，利用幂级数的性质 (四则运算，逐项求导，逐项积分)及变量代换等方法，求得所给函数的展开式；

51.2 常考题型

题型： #将函数展开为幂级数

PART 1：解题方法

总结

1. 因为直接展开法十分复杂，一般先思考是否可以间接展开；

题型：将函数 $f(x)$ 展开为 $x=x_0$ 处的幂级数

需要在使用间接展开的时候、将函数中的关于 x 的函数凑成 $x-x_0$ 的形式
举例：求 $f(x)=sinx$ 在 $x=\frac{{\pi}}{4}$ 处展开为幂级数 -> 转化：$$f(x)=sin[\frac{{\pi}}{4}+(x-\frac{{\pi}}{4})]=...$$

PART 2：典型例题

PART 3：知识点复盘

知识点：$\frac1{1-x}$ 和 $\frac1{1+x}$ 的活用

为了可以使用以上两个幂级数的展开式，经常需要将式子变化成以下形式：
$$\frac1{1-\fbox{fun(x)}}和\frac1{1+\fbox{fun(x)}}$$
其中 $\fbox{fun (x)}$ 表示一个关于 x 的式子；

题型： #级数求和

PART 1：解题方法

总结；展开式与求和式

概念：
总结：
求和和展开的理论式性质是一样的，只不过一个是往右用，一个是往左用；
假设有： $$\frac{1}{{1-x}}=1+x+x^2+...$$
展开式：
$$\frac{1}{{1-x}}\rightarrow1+x+x^2+...$$
求和式：
$$S(x)=\frac{1}{{1-x}}\leftarrow1+x+x^2+...$$
幂函数列 -> 和函数：
找已有的级数中、它的形式和哪个已有的展开式比较接近；

PART 2：典型例题

PART 3：知识点复盘

知识点：关于 In

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}n=-\ln(1-x)\left(-1\leq x<1\right)$$