Lecture 30：分部积分法

1.1 分部积分法

1.1.1 基本概念

定义： #分布积分法

<font color="#ccc1d9">描述：设 $u(x),\nu(x)$ 有连续一阶导数，则 $\int udv=uv-\int vdu$

解释

• 其中：有时候是 $udv$ 简单，有时候是 $vdu$ 简单
• v、u 的选取是其核心点；

1.1.2 例题

例题：$\int xe^xdx$

• 分析
• 由于 $ex$ 的积分比较好求，所以需要考虑如何把 ex 放到 vdu 的位置上；
• 但也可以考虑把 x 放到 vdu 的位置上，但是要更难做一些；
• 解析
• $\int xe^xdx=\int x\operatorname{de}^x=xe^x-\int e^x\operatorname{dx}$
• $\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\times\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{d}$
• 题型： #分部积分法

例题：$\int x sin xdx$

• 分析
• 解析
• 原式的等于： $-\int xdcosx=-\left[x\cos x-\int\cos dx\right]$
• 题型： #分布积分法

例题：$\int sec^3 xdx$

• 分析

-

• 解析
• 原式： $\int\sec^{3}xdx=\int\sec xd\tan x=\sec xdx-\int\tan^{2}x\sin xdx$ $=\sec x\tan x-\int\sec^3xdx+\int\sec xdx$
• 此时，由于原式的右边也出现了一个 sec 3 xdx 的负，所以可以将其放到右边去
• $\int sec^3x\mathrm{~d}x=\frac12\left[secxtanx+\ln|\sec x+\ln x|\right]+\mathrm{C}$
• 其中的 1\2 是因为右边的 sec 移到左边去了；
• 题型： #分部积分法

1.2 分部积分法总结

总结

• 概念：把之前求导时候的乘法公式过程，倒转过来，形成分布积分法；

何时用

• 适用于两类不同函数相乘；
• 1. $\int xe^{x}dx$
• 2. $\int x\sin xdx$
• 3. $\int e^{x}\sin xdx$

如何用

• 八类典型分部积分规律；
• 多项函数 × 指数|三角：
• 1. $\int p_n(x)e^{ax}\operatorname{d}x$
• 凑指数
• 2. $\int p_n(x)\sin ax\operatorname{d}x$
• 凑三角
• 3. $\int p_n(x)\cos axdx$
• 凑三角
• 多项函数 × 对数|反三角：
• 4. $\int P_n(x)\ln xdx$
• 凑多项式
• 5. $\int P_n(x)\arctan xdx$
• 凑多项式
• 6. $\int P_n(x)\arcsin xdx$
• 凑多项式
• 指数 × 三角
• 7. $\int e^{\alpha x}\sin\beta xdx$
• 凑谁都行
• 8. $\int e^{\alpha x}\cos\beta xdx$
• 凑谁都行