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Lecture 28：不定积分

考研数学学习笔记：Lecture 28：不定积分。保留原始公式、图示与例题。

数学 · 2024-01-17约 12 分钟阅读
考研数学高等数学不定积分
本页目录

本章常考题型与典型例题

考试内容

  • (一)不定积分的概念与性质
  • (二)不定积分基本公式
  • (三)三种主要积分法
  • (四)三类常见可积函数的积分

常考题型

  • 求不定积分 (换元、分部)

1.1 什么是不定积分

知识点分布

  • 2+3+3
  • 2：两个概念 -> 1. 原函数； 2. 不定积分；
  • 3：三种方法：两类换元+分布；
  • 3：三类常见积分

重点：三种方法 -> 两类换元+分布；

尺度：基本的不定积分方法掌握即可；

1.1.1 基本概念

原函数

  • 概念：
  • $F^{\prime}(x)=f(x)$
  • $G^{\prime}(x)=f(x)$
  • 则：$G(x)-F(x)=C$
定义： #不定积分
<font color="#ccc1d9">描述：一个函数 $f(x)$ 的不定积分（或者说是原函数）是一个导数等于 $f(x)$ 的函数 $F(x)$ ，即 $F′(x) = f (x)$，或写成 $[F (x)+c]^{\prime}=f (x)$
或者：$\int f(x)dx=F(x)+C$

解释

  • 概念：
  • 不定积分就是 $f(x)$ 原函数的一般表达式；
  • 举例：
  • 比如在 $\int f_{(x)}dx=F_{(x)}+C$ 中：
  • 设 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数；
  • 把函数 $f(x)$ 的所有原函数 $F(x)+C$ 叫做函数 $f(x)$ 的不定积分，又叫做函数 $f(x)$ 的反导数；
  • 符号：
  • $\int$ ：积分号；
  • $f(x)$：被积函数；
  • $dx$：积分变量；
  • $f(x)dx$：被积式
  • $C$：积分常数；

不定积分的几何意义

  • 一组在 Y 轴上相差常数大小的曲线；

1.1.2 原函数存在性

定理： #原函数存在定理
<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：
1. 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续, 则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数；
2. 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数；

解释

  • 关系：
  • 连续的函数，一定存在原函数;
  • 连续 -> 存在原函数；
  • 存在原函数 -X> 连续；
  • 结论：
  • 不连续的函数可能会有原函数，但此函数不可以有第一类间断点，可以为第二类间断点；

举例

  • $g(x)=\operatorname{sgn}x=\begin{cases}-1,&x<0,\\0,&x=0,\\1,&x>0.&\end{cases}$ 有跳跃间断点 -> 属于第一类间断点 -> 没有原函数；
  • 原因：此函数在 $x=0$ 处的原函数为 $|x|+c$ ，而此函数不可导 -> 零点这里就没有原函数；

1.1.3 不定积分基本性质

性质 1：

  • $(\int f(x)\mathrm{d}x)^{\prime}=f(x)$
  • $\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$

性质 2：

  • $\int f^{\prime}(x)\operatorname{d}x=f(x)+C$
  • $\int\operatorname{d}f(x)=f(x)+C$

性质 3：

  • $\int[f(x)\pm g(x)]\operatorname{d}x=\int f(x)\operatorname{d}x\pm\int g(x)\operatorname{d}x$

性质 4：

  • $\int kf(x)\operatorname{d}x=k\int f(x)\operatorname{d}x$

1.2 常见积分公式

1.2.1 积分公式

$1、\int adx=ax+C\:,\:a$ 是常数

$2、\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ ,其中 a 为常数，且 $a\neq-1$

$3、\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$

$4、\int e^{x}dx=e^{x}+C$

$5、\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C$ ,其中 $a>0\:,\:目a\neq1$

$6、\int\sin xdx=-\cos x+C$

7、$\int\cos xdx=\sin x+C$

$8、\int\sec^{2}xdx=\tan x+C$

$9、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$

$10、\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$

$11、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$

$12、\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$

$13、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$

$14、\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$

$15、\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$

$16、\int\frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

$17、\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$

$18、 \int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$

$19、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$20、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right.|+C$

常见“积不出”函数

  • $\begin{aligned}&\int\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x\\&\int\frac{\sin x}x\mathrm{d}x\\&\int\frac{\cos x}x\mathrm{d}x\end{aligned}$

1.2.2 三角函数总结

三角函数基础

  • 倒数关系：
  • $$\tan\alpha\cot\alpha=1、\sin\alpha\csc\alpha=1、\cos\alpha\sec\alpha=1$$
  • 商数关系：
  • $$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}、\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$
  • 平方关系：
  • $$ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1、1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha、1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha$$
  • 二倍角公式：
  • $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
  • $$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$
  • $$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\cot\alpha}{\cot^2\alpha-1}=\frac{2}{\cot\alpha-\tan\alpha}$$
  • 降次公式：
  • $$\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},tan^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{1+cos2\alpha}$$
  • 反三角函数：
  • $$x=a\sin t { 时}，t=\arcsin\frac xa.$$
  • $$\text{x=a sect}时,t=\mathrm{arc}\cos\frac{a}{x}$$

三角函数求导合集

  • 正弦、余弦：
  • $$(\sin x)^{\prime}=\cos x、(\sin x)^{\prime}=-\cos x$$
  • tan、cot、sec、csc：
  • $$\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$$
  • 反三角函数：
  • $$\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(arccot x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$$

常见三角函数积分

  • 和求导一一对应：
  • $$\int\sin xdx=-\cos x+C、\int\cos xdx=\sin x+C$$
  • $$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$$
  • $$\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$$
  • $$\int\sec^{2}xdx=\tan x+C、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$$
  • $$\int\tan x secx=\sec x+C、\int{\cot x\,\csc x}\,dx=-csc x+C$$

常见反三角函数积分

  • $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$$
  • $$\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$$
  • $$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$
  • $$\int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$$

1.3 三类常见可积函数积分

1. 有理函数积分

  • 积分：$\int R(x)\operatorname{d}x$
  • 有理函数：$R(x)$
  • （1）一般方法（部分分式法）；
  • （2）特殊方法（加项减项拆 + 凑微分绛幂）
  • 加项、减项、拆举例：
  • $\int\frac1{t^2-1}\cdot\frac1{t+1}\mathrm{d}t.$
  • 得到：$\int\frac1{(t^2-1)(t+1)}\mathrm{d}t=\frac12\int\frac{(t+1)-(t-1)}{(t^2-1)(t+1)}\mathrm{d}t=\frac14\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+\frac1{2(t+1)}+C$

2. 三角有理式积分

  • 积分：$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x$
  • 解释：表示 $sinx$ 和 $conx$ 经过有理运算得到；
  • 一般方法：万能代换
  • 令 $\tan\frac x2=t$
  • $\int R(\sin x,\cos x)\operatorname{d}x=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac2{1+t^2}dt$
  • 特殊方法（三角变形、换元、分部）
  • 1. $\text{若 }R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则令 $u=\cos x$
  • 2. $\text{若 }R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则令 $u=\sin x$
  • 3. $\text{若 }R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$，则令 $u=\tan x$
  • 举例：
  • 特殊方法：$\int\frac{\operatorname{d}x}{1+\sin x}=\int\frac{1-\sin x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\tan x-\frac1{\cos x}+C.$
  • 一般方法：设 $\tan\frac x2=t$，则 $\begin{aligned}\text{原式}& =\int\frac 1{1+\frac{2 t}{1+t^2}}\cdot{\frac 2{1+t^2}dt} \\&=\int\frac{2 dt}{\left (1+t\right)^2}=-\frac 2{1+t}+C\end{aligned}$

3. 简单无理式积分

  • 积分形式：
  • $$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\operatorname{d}x$$
  • 解释：
  • 举例：$\int\frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x}}$ 的两个函数当中：
  • 1. 一般函数的部分：$(2-x)$
  • 2. 根号函数的部分：$\sqrt{1-x}$
  • 一般方法：
  • $$\text{令 }\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$$
  • 举例：
  • $\int\frac1x\sqrt{\frac{x+1}x}dx$
  • $\text{令}\sqrt{\frac{x+1}x}=t\text{,则}\quad x=\frac1{t^2-1},dx=-\frac{2t}{\left(t^2-1\right)^2}dt,\int\frac1x\sqrt{\frac{x+1}x}dx=\int(t^2-1)t\frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt=-2\int\left(1+\frac1{t^2-1}\right)dt$

1.4 常考题型

题型： #求不定积分之换元、分部

PART 1：解题方法

关于两类换元法

  • 很多题目既可以使用第一类换元法、凑微分来解决，也同时可以使用第二类换元法、使用 t 复合函数来解决；
  • 能用第一类换元法时，优先使用第一类换元法；

关于分段函数求不定积分

  • 注意：在 0 点、分段函数分段点是否可以求导，观察其连续性；
  • 不连续 -> 不可导 -> 错误的原函数；
  • 方法：
  • 1. 分段函数求不定积分，先正常求不定积分，然后在写 C 时写上 $C1、C2$；
  • 2. 分别求解两个函数在分段点的带 C 结果；
  • 3. 根据分界点连续的要求，两个函数的带 C 结果要一样，因此求出 C 1 和 C 2 的关系；
  • 4. 将 C1、C 2 以 C 的形式带入原函数；
  • 补充：一个隐含的前提
  • 只要被积函数是一个分段的连续函数，只要保证了连续性，则也可以保证可导性；

两个不同函数相乘

  • 当遇到两类不同函数相乘时，都可以考虑分布积分法；
  • 把不难弄的一部分凑到 dx 里面去；

已知原函数题目

  • 当题目为已知原函数，求 $f(x)$ 在不定积分中的内容，并且不定积分中有导数时，可以直接把导数提取到 dx 中，从而直接把原函数的求导结果带入；

PART 2：典型例题

例题：$\text{设 }f(x)=\begin{cases}&e^x,&x\geq0,\\&\cos x,&x<0,&\end{cases}\text{则}\int f(x)dx=$

  • 分析
  • $\left.\int f(x)dx=\left\{\begin{array}{l}{{e^{x}+c_{1}},}&{{{x\geq0}}}\\{{\sin^{\prime}x+c_{2}^{\prime}}}&{{x<0}}\\\end{array}\right.\right.$
  • 此时，当 x 分别趋向正 0 和负 0，得到：$1+C_1=C_2$
  • 所以令 $C_1=C$，则 $C_2=1+C$，带入原式；
  • $\left.\int f(x)dx=\left\{\begin{array}{ll}{{e^{x}+c,\quad x\geq0}}\\{{sinx+1+c.\quad x<0}}\\\end{array}\right.\right.$
  • 解析
  • 题型：#

例题：$\text{计算 }\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0).$

  • 分析
  • 总结：当 $x=asint 时，此时 sintcost=\frac{x}{a} * \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$
  • 其中 $\frac{x}{a}$ 为 sint ，$\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$ 为使用 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ 公式计算得到的结果
  • 解析
  • 题型：#

例题：已知 $\frac{\sin x}x$ 是 f(x) 的一个原函数，求 $\int x^3f^{\prime}(x)\operatorname{d}x$

  • 分析
  • 直接将 $\int x^{3}f'(x)\mathsf{d}x=\int x^{3}df(x)$ 然后直接分部；
  • $=x^3f(x)-3\int x^2\mathrm{d}\left(\frac{\sin x}x\right)$
  • 解析
  • 题型：#

PART 3：知识点复盘

总结：

  • 当 $x=asint 时，此时 sintcost=\frac{x}{a} * \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$
  • 其中 $\frac{x}{a}$ 为 sint ，$\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$ 为使用 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ 公式计算得到的结果