Lecture 29：换元积分法

1.1 第一类换元法

引入：从求导数开始

• 求导数的时候，最核心的方法是什么？
• 1. 有理运算法则（加减乘除）；
• 2. 复合函数求导法；
• 隐函数求导法进而参数方程求导法都是前两者的结论；
• 逆过程
• 所以当考虑求导数的逆过程时，就可以考虑基于 1、2 两点的求其逆过程；
• 复合函数
• 把复合函数求导法的过程倒过来 -> 换元积分法；
• 有理运算法则
• 倒过来 -> 分项积分法；
• 乘法 -> 分部积分法；

1.1.1 第一类换元法基本概念

定理： #第一类换元法：凑微分法

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：若 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C$，$\text{则}\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)\operatorname{d}x=\int f[\varphi(x)]\operatorname{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$

解释

• 常用情况：
• $\frac{dx}{\sqrt{x}}=2d\sqrt{x}$

举例

• 比如：$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+c$
• 当前为 $\int xe^{x^2}dx=\frac12\int e^{x^2}(x^2)dx=\frac12\int e^{x^2}dx^2=\frac12e^{x^2}+c^2$
• 为了想用上面 $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+c$ 的结论，所以把它写成 $\frac12\int e^{x^2}dx^2$ 的形式；
• 这个步骤就是凑微分；

1.1.2 例题

例题：$\int(1+3x)^{100}dx$

• 分析
• 因为被积分对象是复合函数，因此可以先考虑如何将其转化为简单的、可以使用公式的形式：
• $\int u^{100}du=\frac1{101}u^{101}+c$
• 解析
• $\int(1+3x)^{100}dx=\frac13\int(1+3x)^{100}d(1+3x)=\frac1{303}(1+3x)^{101}+C$
• 凑了一个 $d$ 的 $1+3x$
• 题型： #凑微分法

例题：$\int\frac{dx}{a^2+x^2}$

• 分析
• 因为
• 解析
• $\int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\int\frac{d\frac{x}{a}}{1+(\frac{x}{a})^{2}}=\frac{1}{a}\operatorname{arcc}t,\frac{x}{a}+C^{1}$
• 题型： #凑微分法

例题：$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2-2x}}$

• 分析
• $17、\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\begin{cases}\arcsin x+C\\-\arccos x+C&\end{cases}$
• 解析
• $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2-2x}}=\int\frac{d(x+1)}{\sqrt{2-(x+1)^2}}$ = $\arcsin\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c$
• 题型： #凑微分法

1.1.3 凑微分形式总结

常见函数

• 1. $$\int f( ax+ b) dx= \frac 1a\int f( ax+ b)d( ax+ b)$$
• 2. $$\int x^mf( ax^{m+ 1}+ b)dx=\frac 1{( m+ 1) a}\int f( ax^{m+ 1}+ b)d(ax^{m+1}+ b)\quad\quad\quad ( m\neq- 1) $$
• 3. $$\int f( \sqrt {x}) \frac {\mathrm{d} x}{\sqrt {x}}= 2\int f( \sqrt {x})d( \sqrt x)$$
• 4. $$\int f( e^x) \mathrm{e} ^xdx= \int f( \mathrm{e} ^x)d(\mathrm{e} ^x)$$
• 5. $$\int f(\ln x)\:\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x)$$

常见三角函数凑微分

• 1. $$\int f(\sin x)\cos\:x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x)$$
• 2. $${\int}f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-{\int}f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x)$$
• 3. $$\int f(\tan x)\:\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x)$$
• 4. $${\int}f(\arcsin x)\:\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x)$$
• 5. $${\int}f(\arctan x)\:\frac1{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x)$$

1.2 第二类换元法

1.2.1 第二类换元法基本概念

定理： #第二类换元法

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： $\text{设 }x=\varphi(t)\text{ 是单调的、可导的函数,并且 }\varphi^{\prime}(t)\neq0$ ，则 $\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)\mathrm{d}t=F(t)+C,$

公式：$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C,$

解释

• 方法：
• 关键是变量代换的选取 -> 把 x 带换掉了，带换成其他函数 -> 做出结果后，还要用反函数带回去；
• 举例：
• 原函数：$\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$ -> 把 x 代换：$x=a\sin t$ -> 得到代换后函数：$\int\frac{a^2\sin^2t}{a\cos t}\cdot a\cos tdt$ -> 求不定积分：$\frac{a^2}2(t-\frac12\sin2t)+C$ -> 换回： $\frac{a^2}2\arcsin\frac xa-\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C$

总结

• 常见形式：
• 以下三种形式：$$\begin{aligned}&\sqrt{a^2-x^2} \\&\sqrt{a^2+x^2} \\&\sqrt{x^2-a^2}\end{aligned}$$
• 分别可以使用以下三种形式的 x 来带入，进而消掉根号：$$\begin{aligned}x&=a\sin t(a\cos t)\\\\x&=a\tan t\\\\x&=a\sec t\end{aligned}$$
• 目的：把根号可以去掉；

1.2.2 例题

例题：$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}\quad(a>0)$

• 分析
• 因为原式中有根号，因此当需要求其不定积分时，首先应该考虑如何消掉这个根号；
• 此时可以想到用第二类换元法来把 a 以及 x 从根号中弄出来；
• 解析
• 可以设 $x=a*tant$
• 此时先带入分母中，可知：分母变成 $a*sect$
• 然后求 $dx$ -> 求 $d(a*tant)$
• 然后：
• 题型： #第二类换元法