Lecture 27：不定积分 换元积分法

1.1 曲率的基本概念

什么是曲率

• 字面意思：用极限来描述曲线的某一点，其弯曲的程度；
• 和所在的点有关；
• 本质：描述一条曲线在不同位置点，切线夹角的变化量；
• 

定义： #曲率

<font color="#ccc1d9">描述：弧 $MM^{\prime}$ 的切线转角 $\Delta\alpha$ 与该弧长 $\Delta s$ 之比的绝对值，称作该弧的平均曲率，记作：$\overline{K}=\begin{vmatrix}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\end{vmatrix}$

当 $M^{\prime}$ 沿曲线 L 趋向于 M 时，若弧 $\overline{MM^{\prime}}$ 的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线 L 在点 M 处的曲率，记作 K，即：

$K=\lim_{M^{'}\rightarrow M}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|\text{或}K=\lim_{\Delta s\rightarrow0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|$

>即：$K=\frac{|y^{\prime\prime}|}{(1+{y^{\prime}}^2)^{\frac32}}$

解释

• 用极限来描述曲线的某一点，其弯曲的程度；
• 曲率：$$K=\frac{|y^{\prime\prime}|}{(1+{y^{\prime}}^2)^{\frac32}}$$
• 曲率半径： $$R=\frac1K$$

1.2 曲率的常见情况

直线

• 直线的曲率为 0；
• 因为其斜率夹角的变化为 0；

圆

• 圆的曲率就是： 1/半径