Lecture 21：微分中值定理

本章常考题型与典型例题

常考题型

1. 求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点; （基础题）
2. 求渐近线;（基础题）
3. 方程的根；（较难题）
4. 不等式的证明:（较难题）
5. 中值定理证明题（难题）

1.1 微分中值定理

目的：为什么需要微分中值定理 `-> 建立导数和函数的关系 ->` 奠定通过导数研究函数的基础；

常考题型

题型一：求极限
题型二：函数的极值和最值，曲线的凹向与拐点
题型三：曲线的渐近线
题型四：方程的根
题型五：不等式的证明
题型六：中值定理的证明题（难）

1.2 三大定理

三大定理的意义

罗尔定理： $存在\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0$
拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
建立了局部与整体的关系
导数反应的是一点的变化率，是一个局部；
但 (a，b)是一个整体区间的变化；
所以：$f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ 建立了局部与整体之间的关系；
建立了函数值和导数值之间的关系
为：用导数研究函数，奠定了理论基础；
柯西中值定理

三大定理的关系

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适用范围

证明恒等式
证明不等式
证明有关中值问题的结论

1.2.1 罗尔定理

定义：极大值与极小值

描述： $若 \exists\delta>0\text{,使得}$

极小值： $\forall x\in U(x_0,\delta)\text{ 恒有 }f(x)\geq f(x_0)\text{,则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{取极小值}$

极大值：$\forall x\in U(x_0,\delta)\text{ 恒有 }f(x)\leq f(x_0)\text{,则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 取极大值}$

解释

因为这一点为极大值或者极小值，因此在极值这一点的斜率肯定和 Y 轴垂直；

引理：费马引理

$\text{若 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{处取得极值,且 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可导,则}$：极值点 $f^{\prime}(x_0)=0$
费马引理：是可导函数取到机制的必要条件；

定理：罗尔定理

描述：若满足三个条件：

1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续；

2）$f$ 在 $(a,b)$ 内可导；

3）f(a)=f(b)

则可知：$\text{则 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0$

推导结论：有一点的切线，和 ab 两点的连线平行 -> 拉格朗日定理；

解释

推导关系：【定义】极大值与极小值 -> 【定理】费马引理 -> 【定理】罗尔定理
图示

1.2.2 拉格朗日中值定理

定理：拉格朗日中值定理

描述：若满足以下几个条件：

1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续

2）$f$ 在 ($a,b)$ 内可导

则：$\text{可得 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$

解释

拉格朗日定理是罗尔定理的推广；
罗尔定理是拉格朗日定理的特例；

补充

$a>b,a<b\quad\text{结论都成立}$
改写形式：$f(b)-b(a)=f^{\prime}[a+\theta(b-a)](b-a)\quad(0<\theta<1)$
重要-> 改写形式：$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime}[x_0+\theta\Delta x]\Delta x\quad(0<\theta<1)$
这种形式是以下微分近似形式的精确描述：$\Delta y\approx f^{\prime}(x_0)\Delta x$

解释

图示
没有了 f (a)=f (b)的限制条件，所以不一定有切线平行 X 轴；
但是会有一点的斜率和当前函数值连线相等：

推论 1：有限增量公式

$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime}[x_0+\theta\Delta x]\Delta x\quad(0<\theta<1)$
近似描述：$\Delta y\approx f^{\prime}(x_0)\Delta x$

推论 2：$\text{设 }f(x)\text{ 在区间 }I\text{ 上连续,在 }I\text{ 内可导,则在}$$I\text{ 上 }f(x)\equiv C\Leftrightarrow f^{\prime}(x)\equiv0$

左推导右是很明显的；
关键在于右怎么推左；

证明：使用分析法证明拉格朗日中值定理

核心方法：构造特殊函数，使用罗尔定理
目标是证明：$\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
所以等于证明：$f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
所以可以设置一个函数 $F^{\prime}(\xi)=0$
因此可得：令 $F (x)=f (x)-\frac{f (b)-f (a)}{b-a}x$
所以根据摩尔定理： $F^{\prime}(\xi)=0$

1.2.2.1 例题

例题：$\text{试证}\quad|\sin x-\sin y|\leq|x-y|$

分析
分析过程：
解析
结论：$\mathrm{~sinx<x<tanx,x\in(0,\frac\pi2)}$

例题：$\text{证明：当 }x\in(0,\frac\pi2)\text{ 时, }\arctan x+\arctan\frac1x=\frac\pi2.$

分析
因为是要证明一个函数值在一个范围内等于一个常数，所以可以考虑使用{拉格朗日中值定理的推论 2}；
解析
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{1+(\frac{1}{x})^{2}}=0.$
因此导数等于 0，根据推论 2 -> 当前函数值在范围内为一个常数；
所以随便带入一个点，即可得到当前函数值恒定为 $\pi/2$

1.2.3 柯西中值定理

定理：柯西中值定理

描述：若满足以下条件：

1）$f,F\text{ 在 }[a,b]\text{上连续};$

2）$f,F\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,且 }\forall x\in(a,b),F^{\prime}(x)\neq0$

则：$\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$

解释

从拉格朗日中值定理 -> 柯西中值定理；
将拉格朗日中值定理中函数设为参数方程：$Y 为 f，x 为 F$；
此时 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$ 即表示 ab 线段的斜率；
并且对 $\xi$ 一点 y、x 求导 -> $\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$ = $dy/dx$ -> 等于这一点斜率；
所以 $\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$
几何含义
举例：$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{(x-\sin x)-(0-\sin^{}0)}{x^3-0^3}$
由柯西中值定理 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$，可知因此可得：$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2}{3\xi^2}$
所以当前 $\xi$ 位于 $x$ 和 $0$ 之间
所以得到 $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{3x^{2}}.$
最后结果为 1/6；

1.2.4 三大定理总结

核心：建立导数值和函数值的关系

问题分析：

1. 如果给的问题是导数，要求研究函数，此时可以使用微分中值定理；
2. 如果给的条件是函数，要求证明是导数，此时也可以使用微分中值定理；

三者关系