Lecture 20：函数的微分

1.1 微分的定义

1.1.1 什么是微分

为什么需要微分

• 微分的本质：微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）。
• 导数是研究在一点的变化率，是研究改变的快慢；

有时需要研究一点的改变量；

• 例子
• 比如现在的例子： $\begin{aligned}&f (x)=x^2 \\&\Delta f (x)=f (x_0+\Delta x)-f (x_0)=2 x_0\Delta x+(\Delta x)^2\end{aligned}$
• 当 $\Delta\mathrm{x}$ 很小时，此时 $\Delta f(x)\approx2\mathrm{x}_0\Delta\mathrm{x}$
• 即变化率和平方的部分无关，可以被省略掉；
• 图示：
• 
• 蓝色的部分为次要部分，可以省略掉；
• 只需要保留绿色的部分；
• 这对于误差的估计很有用；

微分和导数的关系

• 导数：是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。
• 微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。
• 关于它们的符号
• 将 $f^{\prime}(x)\Delta x$ 定义为 dy，因此 dy 不是一个符号，而是一个具体的值；
• 而 $\Delta y$ 表示的是函数值的变化，显然 dy 的真正含义是对这种变化的逼近。
• 也就是说我们定义微分，就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。
• 根据我们的定义，导数和微分的关系自然而然就出来了，由 $dy=f^{\prime}(x)\Delta x$ ,自然就得到 $\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)$。
• 是不是觉得导数和微分的关系其实也没有那么神秘，这一切都只源于那些数学大家的定义而已。所谓定义，肯定是人为的了，没什么道理可讲

1.1.2 微分的定义

定义： #微分

<font color="#ccc1d9">描述： $\text{若 }f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\text{ ，则称 }f(x)$ $在 x _0点可微；$

核心：微分是函数改变量的线性主部；

解释

• 什么是微积分
• 在微小的局部，用一个均匀变化来代替非均匀变化；
• 什么是微分
• 微分就是一个函数该变量的近似值（线性主部）

扩展解释

• $A\Delta x 称为 f(x)在 x_0 点的微分$
• 第一部分为函数变化的主要部分
• 第二部分为高阶无穷小，为次要部分
• 即为：$dy=A\Delta x$
• $dy\text{是 }\Delta y\text{的线性主部}$
• 在微小的局部，用一个均匀变化来代替非均匀变化，这就是微积分的定义；
• 比如：用线性变化的函数，来代表整体为非均匀变化的函数；

微分的几何含义

• 微分 $dy=f^{\prime}(x_{0})dx$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 的切线上的增量；

1.1.3 可微分与可导

定理： #可微与可导的关系

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：在 $x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导；

且：$dy=f^{\prime}(x)\Delta x=f^{\prime}(x)$

解释

• （在一元函数的前提下）验证是否可微分 = 验证是否可导；
• 所以：验证了可导 -> 可微分；

1.2 连续、可导、可微之间的关系

图示

连续和可导

• 可导 -> 连续
• 证明：可导推连续
• 如果可导，则有：$\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x_0)$
• 因为 $\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x$
• 所以其中的 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为常数，而 $\Delta x$ 趋向于 0，所以 $\Delta y$ 也趋向于 0
• 因此满足连续的定义：$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0$
• 连续不能推可导；
• 比如：$y=|x|$
• 这一点连续，但是左右导数不一样（左切线斜率是-1，右切线斜率是 1）
• 可导可以推出连续；
• 正确：$f(x)在x_0$ 可导 -> $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续；
• 错误：$f(x)在x_0$ 可导 -> $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 处连续；
• 错误：$f(x)在x_0$ 可导 -> $\lim_{x\to x_0}f^{\prime}(x)$ 存在；
• 推论：二阶导数存在不等于二阶导极限存在；

可导和可微

• 可导可以推出可微；
• 可微可以推出可导；

连续和可微

• 可微可以推连续；
• 连续不能推可导；
• 也是：$y=|x|$

判断可导性的方法

• 判断可导性
• 不连续
• 一定不可导；
• 连续
• 直接用定义；
• 看左右导数是否存在且相等；

1.2.2 洛必达法则使用条件

使用洛必达法则最多可用到

1. $f(x)\text{n阶可导，可以保证：}f^{(n-1)}(x)$ 极限存在；
2. $f(x)n\text{ 阶连续可导，则可以保证}f^{(n)}(x)$ 极限存在，可以使用洛必达；

1.3 补充：微分的历史

1.3.1 古典微分学

古典微分学的特点

1. dy 和 dx 表示的是自变量和因变量的具体的变化
2. 根据想象中的无穷小这个东西，定义了切线
3. 然后将切线的斜率定义为导数

dx 到底是什么，一会为0，一会又不为0？？为什么一个量会有两种不同形态，而且还能完全没道理的自由转换。

1.3.2 极限微分学

极限被发明了出来。相应的什么是无穷小，也有了确切的、具体的定义。无穷小终于不再是幽灵了，被光明正大的纳入数学体系中；

无穷小，就是极限为0的量；极限的发明本质上是让数学家们手上有了一套可以解释无穷小的理论体系；

和古典微分学的区别

• 古典微分学
• $\mathrm{dy}=\Delta y$
• 极限微分学
• $\mathrm{dy}\approx\Delta y$
• 极限微分学中，微分是变化的逼近，而不是变化本身

极限微分学的计算：