Lecture 25：函数的极值与最值

1.1 函数的极值

1.1.1 基本概念

定义： #函数的极值

描述：若 $\exists\delta>0$,使得

1） $\forall x\in U(x_0,\delta)$ 恒有 $f(x)\geq f(x_0)$, 则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 取极小值。

2） $\forall x\in U(x_0,\delta)\text{ 恒有 }f(x)\leq f(x_0)\text{,则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{取极大值}$

定理： #极值的必要条件

描述： $\text{若 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处何导,且在 }x_0\text{ 处取得极值,则}$ $f^{\prime}(x_0)=0$

意义

对于可导函数，通过这个定理，缩小了函数可能的极值点的范围；
1. 对于可导函数，只需要看驻点；
2. 对于不可导的点，只要看驻点和不存在的点；

极值与驻点的关系

驻点：
导数的等于零的点，称之为函数的驻点；
在 $x_0$ 处取到极值，其导数等于零；
驻点和极值点的关系
对可导函数而言，极值点就是驻点；

推论 1：一般函数可能的极值点

1. 导数等于 0 的点；
2. 导数不存在的点；

定理： #极值第一充分条件

描述： $\text{设 }f(x)\text{ 在 }U(x_0,\delta)\text{内可导,且 }f^{\prime}(x_0)=0\text{(或}f(x)\text{在 }x_0\text{ 处连续})$

1）若 $x<x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\geq0;x>x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\leq0$, 则 $f$ 在 $x_{0}$ 处取极大值

2）若 $x<x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\leq0;x>x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\geq0$, 则 $f$ 在 $x_{0}$ 处取极小值.

3）$\text{若}f^{\prime}(x)\text{ 在 }x_0\text{ 的两侧不变号,则 }f\text{ 在 }x_0\text{ 无极值}$

意义

判断一点是不是真的极值点；
使用方法：
由 极值的必要条件(定理) -> 若干可能的极值点 -> 极值第一充分条件(定理) -> 真正的极值点；

解释

几何
分别为情况一和情况二：
优势
既可以分析导数等于 0 的点，还可以分析导数不存在的点；

定理： #极值第二充分条件

描述： $\text{设}\quad f^{\prime}(x_0)=0,f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$

1）当 $f^{\prime\prime}(x_0)<0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取极大值

2）当 $f^{\prime\prime}(x_0)>0,\quad f(x)$在 $x_{0}$ 处取极小值

解释

意义：
通过导数等于 0 的点的二阶导数的值来判定一点是否取到极值；
局限性：
无法分析导数不存在的点；

1.1.2 例题

例题：$\text{求函数 }f(x)=x^3-3x^2-9x+5\text{ 的极值}$

分析
由形式可知，函数是可导函数 -> 可导函数的极值点只可能在驻点位置取到；
但驻点不一定是极值点；要用充分条件判断 -> 一阶导数为零的点，是否变符号（正负）；
解析
用第一充分条件
$f(x)=3x^{2}-6x-9=3\left(x_{-2}^{2}x-3\right)=3(x-3)(x+1)=0\Longrightarrow x_{1}=-1,x_{2}=3$
$x=-1$ 处，函数导数从正-> 负，所以为极大值点；
$x=3$ 处，函数导数从负-> 正，所以为极小值点；
用第二充分条件
$\begin{aligned}f^{\prime\prime}(x)=6x-6,\quad f^{\prime\prime}(-1)=-12<0,\quad 极大\\f^{\prime\prime}(3)=12>0\quad 极小\end{aligned}$
题型： #函数的极值

1.2 最大值与最小值

定义： #连续函数最大值与最小值

描述： $\text{求连续函数 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的最值}$

0）建立目标函数（应用题时）

1）求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的驻点、不可导的点以及端点 $x_1,x_2,x_3 ...$ ；

2）求出各点的函数值

3）将求出来的数值和端点比较，大的为最大值，小的为最小值

解释

若连续函数 f (x)在 (a,b) 内仅有唯一极值点 -> 如果极大、就是极大；如果极小、就是极小；

补充：最大最小值问题的应用题

第一步：建立目标函数 $y=f(x)$
转换成一般问题

例题：$\text{求 }f(x)=2x^3-3x^2\text{ 在 [-1,2] 上最大值和最小值}$

分析
因为是多项式，因此不存在导数不存在的点，因此只需要求导数等于零的点；
解析
$f^{\prime}(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0\Longrightarrow x_1=0,x_2=1$
求驻点的值
$f(0)=0,f(1)=-1$
求端点的值
$f(-1)=-5,f(2)=4$
所以 x=-1 为最小点，x=2 为最大点
题型： #连续函数最大值与最小值

1.3 相关题型

题型： #求函数的极值和最值

PART 1：解题方法

核心：由 极值的必要条件(定理) -> 若干可能的极值点 -> 极值第一充分条件(定理) -> 真正的极值点；

可能的极值点

1. 导数等于 0 的点；
2. 导数不存在的点；

判断可能的极值点是否真的是极值点

导数存在时：可以使用极值第一充分条件 -> 导数极限左右是否变号 -> 导数从正变负：极大值 + 导数从负变正：极小值；
导数不存在：
1. 函数连续时：可以使用极值第一充分条件 + 导数连续 -> 可以推导导数不存在的点是否为极值 -> 导数从正变负：极大值 + 导数从负变正：极小值；
2. 不清楚函数是否连续：使用极值第一充分条件 + 判断这一点是否连续（左右极限是否相等） -> 如果连续 -> 导数从正变负：极大值 + 导数从负变正：极小值；
或者使用极值第二充分条件 -> 二阶导数不等于 0；

补充：关于函数的导数以及左右导数

如果导数的左右导数当中有一个不存在，则这一点导数不存在；
并且如果已经判断出来左右导数中有一个，则另外一半就不需要讨论了；

根据函数式子求导数

1. 分析函数，看其中有没有导数不存在的点 -> 通常分段函数的分界点、0 点周围都可能是导数不存在的点；
2. 去掉不存在的点后，对函数求导；

最大最小值的应用题：先建立目标，在使用求最大最小值的方法求解；

注意：目标函数通常不唯一，可以思考是否有更简单的目标函数；

PART 2：典型例题

例题：已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $f(0)=0,\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$,则在点 $x=0$ 处 $f(x)$ __

分析
解析
直接法：
由于 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，并且 $1-conX$ 在 x 点附近大于 0 -> 所以在 0 点附近，$f(x)>0$ ；
因为在 0 点处，$f(0)=0$，而又在 0 点附近，$f(x)>0$ ；
所以可知：$f(0)=0$ 为 0 点附近的最小点，取得最小值；
排除法：
带入具体函数，分析；
令 $f(x)=x^2$，此时其满足题目所有条件；
由此可知 $f(x)=x^2$ 在 0 点取得最小值，并且极限存在、可导，且导数等于 0；
题型：#