Lecture 24：函数的单调性与曲线的凹凸性

1.1 函数单调性的判断方法

1.1.1 单调增减的几何意义

单调增和单调减

导数和单调增减的关系

定理：单调增减与导数

描述： $\text{设函数 }f(x)\text{ 在区间 }[a,b]\text{ 上连续},\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,则}$

1）$\text{如果在(}a,b)\text{ 内 }f^{\prime}(x)\geq0,\text{ 且等号只在有限个点上成立}$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加

2）$\text{如果在(}a,b)\text{ 内 }f^{\prime}(x){\leq}0,\text{ 且等号只在有限个点上成立,}$ 则 $\text{则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上单调减少}$

解释

注意：此条件 等号只在有限个点上成立 ，即导数等于零的位置点是有限个，

1.1.2 例题

例题：$\text{确定 }f(x)=e^x-x-1\text{ 的增减区间}$

分析
题型：利用单调增减性的定理，分析增减区间；
分析过程：$f^{\prime}(x)=e^x_{-1}=0\Rightarrow\mathrm{x=0}$
解析
解答过程：
$(-\infty, 0), f (x)<0\Rightarrow f (x)\downarrow$
$(0,+\infty) f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow f(x)$

例题：$\text{试证 }x>0\text{ 时,}x-\frac{x^3}6<\sin x<x$

题型
#使用单调性证明不等式
解析
先分析 $sinx$ 和 $x$ 的关系
$\begin{aligned}&f(x)=X-h^{\prime}x,\quad f(0)=0\\&f^{\prime}(x)=1-\cos x\geqslant0\quad,\quad f(x)\quad[0,a]\quad1\to(0,+\infty)\end{aligned}$
同理为右边不等式的关系；

1.2 曲线的凹凸性和拐点

1.2.1 凹凸性的基本概念

定义：凹凸的定义

描述： $\text{设函数}f(x)\text{在区间 }I\text{ 上连续, 如果对}$$I$ 上任意两点 $x_1,x_2$

1）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，$则称 f(x)\text{ 在 }I\text{ 上的图形是凹的}$

2）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的

解释

中点：$\frac{x_1+x_2}2$
几何意义
凹
其斜率在增加，即一阶导数在增加 -> 二阶导数大于零；
凸
其斜率在减少，即一阶导数在减少 -> 二阶导数小于零；

定理：凹凸性判定

描述： $\text{设函数}f(x)\text{ 在区间 }[a,b]\text{ 上连续},\text{ 在 }(a,b)\text{ 内二阶可导},$

1）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)\text{>0, 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凹的}$；

2）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)<0,\text{ 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凸的}$

总结

用一阶导数的正负 -> 判断函数的单调性；
用二阶导数的正负 -> 判断函数的凹凸性；

1.2.2 拐点的基础概念

定义：拐点

描述：连续曲线上，凹凸性质发生变化的分界点

拐点可能取值

1. ${f^{\prime\prime}(x_0)=0}$；
2. 二阶导数不存在的点；

1.2.2 例题

例题：$\text{判定曲线 }y=x^3\text{ 的凹凸性}$

分析
分析过程：
解析
解答过程：
$y^{\prime}=3x^{2},y^{\prime\prime}=6x$
$\begin{aligned}(-无限,0),y^{\prime\prime}<0,&\text{凸}\\(0,+无限),&y^{\prime\prime}>0\end{aligned}$
推导结论
在函数的一点位置，函数的凹凸性发生变化，则称这一点为拐点
即：拐点为二阶导数等于零的点；

例题：$h(x)=\sqrt[3]{x}$，求它的凹凸区间以及拐点；

分析
找拐点可以在这些位置：
${f^{\prime\prime}(x_0)=0}$
或者是二阶导数不存在的点；
解析
$\begin{aligned}h^{\prime}(x)&=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\h^{\prime\prime}(x)&=-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}=-\frac{2}{9x^{\frac{5}{3}}}\quad h^{\prime\prime}(0)\text{不存在}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\color{red}{(-\infty,0)},\quad\color{red}{f^{\prime\prime}(x)>0},\quad\color{red}{\boxed4}\\&\color{red}{(0,+\infty)}\quad\color{red}{f^{\prime\prime}(x)<0},\quad\color{red}{\boxed4}\end{aligned}$
题型
#求拐点的方法

1.3 相关题型

题型： #确定曲线的凹向和拐点

PART 1：解题方法

拐点可能的取值点

1. 二阶导数等于 0 的点；
2. 二阶导数不存在的点；
然后逐个判断这些等于 0 或者不存在的点，其拐点是否存在，得到所有拐点的取值；

判断可能的拐点是否存在

凹凸性质发生变化的分界点；

PART 2：典型例题

PART 3：知识点复盘

题型： #方程的根

PART 1：解题方法

方程根的问题

一、存在性问题：即函数有零点，$f(x)=0$
1. 连续函数的零点定理：$f(x)在[a,b]$ 区间上连续，并且两端点异号 -> $f(a)·f(b)<0$ -> 方程有根；
2. 罗尔定理：一点导数等于 0 -> 至少有一个根；
二、根的个数
使用函数的单调性定理；

题型： #不等式的证明

PART 1：解题方法

拉格朗日中值定理

可以用于证明不等式。但是使用时，需要具有两个函数的差；
典型场景：$sin(a)-sin(b)<a-b$

利用单调性+求导证明不等式

将不等式放到等号一边，变成 $一坨>0$，然后利用求导得到单调性，证明不等式；

PART 2：典型例题

例题：证明： $\frac x{1+x}<\ln(1+x)<x.(x>0)$