Lecture 24：函数的单调性与曲线的凹凸性

1.1 函数单调性的判断

1.1.1 导数与单调性

• 几何示意：
• 

定理： 导数与单调性

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。

1. 若 $f'(x)\ge0$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调不减。
2. 若 $f'(x)\le0$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调不增。
3. 若 $f'(x)>0$，则 $f$ 严格单调增加；若 $f'(x)<0$，则 $f$ 严格单调减少。

当 $f'(x)\ge0$ 且导数为零的点只有有限个时，也可以推出 $f$ 严格单调增加；对应的递减结论同理。更一般地，只要 $f'$ 不在任何子区间上恒为零，就可以排除函数在该子区间上为常数。

1.1.2 例题

例 1：确定 $f(x)=e^x-x-1$ 的单调区间

• 当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，所以 $f$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递减。
• 当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增。

例 2：证明当 $x>0$ 时，$x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x$

• 令 $F(x)=x-\sin x$。有 $F(0)=0$，且 $F'(x)=1-\cos x\ge0$，因此 $x>0$ 时 $F(x)>0$，即 $\sin x<x$。
• 令 $G(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$。有 $G(0)=G'(0)=G''(0)=0$，且

依次利用单调性可得 $G''(x)>0$、$G'(x)>0$、$G(x)>0$，所以 $x-\frac{x^3}{6}<\sin x$。

1.2 曲线的凹凸性与拐点

1.2.1 凹凸性的定义与判定

定义： 凹凸性

设函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续。对任意不同的 $x_1,x_2\in I$：

1. 若

则按本笔记所用的中文教材术语，称曲线在 $I$ 上是凹的。

1. 若上述不等号反向，则称曲线在 $I$ 上是凸的。

几何意义

• 凹：弦位于曲线上方，斜率递增。
• 
• 凸：弦位于曲线下方，斜率递减。
• 

定理： 二阶导数判定

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导。

• 若 $f''(x)>0$，则曲线在该区间上是凹的。
• 若 $f''(x)<0$，则曲线在该区间上是凸的。

一阶导数的符号判断单调性，二阶导数的符号判断凹凸性。

1.2.2 拐点

定义： 拐点

连续曲线上凹凸性发生改变的点称为拐点。

求拐点时，先找候选横坐标：

1. $f''(x_0)=0$；
2. $f''(x_0)$ 不存在，但函数在 $x_0$ 处连续。

候选点不一定是拐点；还必须检查 $x_0$ 两侧的凹凸性是否发生改变。

1.2.3 例题

例 1：判断 $y=x^3$ 的凹凸性

• 在 $(-\infty,0)$ 上，$y''<0$，曲线为凸。
• 在 $(0,+\infty)$ 上，$y''>0$，曲线为凹。
• 凹凸性在 $x=0$ 两侧改变，所以 $(0,0)$ 是拐点。

• 原始示意图：
• 

例 2：求 $h(x)=\sqrt[3]{x}$ 的凹凸区间与拐点

对 $x\ne0$，

• 当 $x<0$ 时，$h''(x)>0$，曲线为凹。
• 当 $x>0$ 时，$h''(x)<0$，曲线为凸。
• $h''(0)$ 不存在，但 $h$ 在 $0$ 处连续，且凹凸性在两侧改变，所以 $(0,0)$ 是拐点。

1.3 相关题型

题型一： 确定凹凸区间与拐点

1. 求 $f''(x)$。
2. 找出 $f''(x)=0$ 或 $f''(x)$ 不存在的候选点。
3. 按候选点划分区间，判断每个区间内 $f''$ 的符号。
4. 只有当凹凸性在候选点两侧改变时，该点才是拐点。

题型二： 方程根的个数

• 存在性：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)f(b)<0$，则介值定理保证 $(a,b)$ 内至少有一个零点。
• 唯一性：若 $f$ 在区间上严格单调，则该区间内至多有一个零点。
• 估计根的个数时，可结合罗尔定理：若 $f$ 有两个不同零点，则 $f'$ 在两者之间至少有一个零点。

题型三： 证明不等式

• 把不等式移到一边，构造辅助函数，再利用导数判断其单调性。
• 拉格朗日中值定理适合处理函数值之差。

例如对 $x>0$，证明

令 $F(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，则

所以 $F(x)>0$。再令 $G(x)=x-\ln(1+x)$，则

所以 $G(x)>0$，结论成立。