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Lecture 23：泰勒公式

考研数学学习笔记：Lecture 23：泰勒公式。保留原始公式、图示与例题。

数学 · 2024-01-12约 6 分钟阅读
考研数学高等数学微分中值定理与导数应用
本页目录

泰勒公式的作用：建立高阶导数和函数之间的关系，使用高阶导数研究函数；

1.1 什么是泰勒公式

什么是泰勒公式

  • 本质：就是用多项式函数，去逼近光滑函数
  • 解释：复杂的方程用一系列简单可计算的方程近似模拟。比如把求一个无规律的图形的面积变成、转化成求一系列（很多个）正方形的面积，然后加在一起；

1.1.1 泰勒公式定义

定理：泰勒定理 - 带 Peano 余项
<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： 带有 Peano 余项的泰勒公式： $\text{设}f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处 }n\text{ 阶可微,则}$ $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$$

解释

  • 意义：
  • 把一个一般函数，写成一个 一般多项式+余项；
  • 余项：
  • $$P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$
  • $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的 n 次 Taylor 多项式：
  • $$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$$
  • 缺点：
  • 1. 只能给出余项的定性描述，不能做定量的分析；
  • 2. 只能在 x 0 临近时，才能用，远处无法使用；

补充

  • 首先是函数和微分的关系
  • $\text{若 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可微,则 }\Delta y\approx dy$
  • $f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$
  • 此时是约等于，因为在几何上，$f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$ 实际上是使用直线来模拟曲线的值；
  • 所以可以在进行一次微分，用高阶无穷小进一步近似曲线的值，即 f (x)的值
  • $f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$
  • 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 n 阶可导，是否存在 n 次多项式 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n$ 使得：
  • $f(x)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)$
  • 因此，可得 $a_0=f(x_0),\quad a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\quad k=1,2\cdots n$
  • 所以：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
定理：泰勒公式 - Lagrange
<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： $\text{设 }f(x)\text{ 在区间 }I\text{ 中 }n+1\text{ 阶可导},$ $x_0\in I,\text{ 则 }\forall x\in I,\exists\xi\in I\quad(\xi\text{ 在 }x_0\text{ 与 }x\text{ 之间),使}$ $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\big(x-x_0\big)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\big(x-x_0\big)^{n+1}$$
带有拉格朗日余项的泰勒公式：
$$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$

解释

  • 给出了余项的具体表达式
  • 可以在给定条件下，进行定量分析；
  • 可以保证误差，在 x 0 趋向于 0 时，误差为零；

推论 1：零点的泰勒公式

$\begin{gathered}\text{若 }x_0=0\text{ , 则} \\F (x)=f (0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \\上式称为 f (x)\text{ 的 Maclaurin 公式} \end{gathered}$

推论 2：几个初等函数的 Maclaurin 公式

  • $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}\quad\quad x\in(-\infty,+\infty)$
  • 因为 e 的导数还是自己，就是各阶导数就使用 1 带进去；
  • $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\left(-1\right)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{\left(2m-1\right)!}+\left(-1\right)^m\frac{\cos\theta x}{\left(2m+1\right)!}x^{2m+1}$
  • $\begin{aligned}(1+x)^\alpha&=1+cx+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\\&+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)(1+\beta x)^{x-n-1}}{(n+1)!}x^{n+1}\quad x\in(-1,+\infty)\end{aligned}$

1.2 内容小结

1.2.1 共同点

共同点

  • 1. 使用多项式的简单函数来逼近一般函数；
  • 2. 函数和高阶导数联系起来；
  • 结论：
  • 1. 当题目当中是需要研究高阶导数时，经常要使用泰勒公式；
  • 2. 如果研究的是局部性态 -> Peano 余项的泰勒公式；
  • 3. 如果研究的是全局性态 -> Lagrange 余项的泰勒公式

核心：两个泰勒公式，都是把 f(x)写成 一个多项式 + 一个余项；

  • Peano 余项
  • $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$
  • Lagrange 余项
  • $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

本质：使用多项式，来逼近 f (x)的值 -> 用已知点信息，表示未知点；

  • 为什么？因为多项式的求解简单

1.2.2 两种泰勒公式使用情况分析

不同点

  • 余项不同

Peano：定性、局部的描述 -> 研究函数的局部形态，使用 Peano 公式

  • 1. 研究函数趋向于一点的极限；
  • 2. 研究函数的极值；

Lagrange：定量，整体的描述

  • 1. 研究最大/最小值；
  • 2. 证明不等式 -> 研究一个区间；

补充：拉格朗日中值定理时泰勒定理的特例；

  • 四大中值定理：
  • 前三个建立 $f(x)$ 和一阶导数的关系；
  • 泰勒定理研究 $f(x)$ 和高阶导数的关系
  • 共同点：研究函数和导数的关系，为使用导数研究函数奠定基础；

1.3 例题

例题：$\text{求极限 }\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}2}}{x^4}$

  • 分析
  • 0/0 型，但是无法使用洛必达
  • 所以可以考虑使用泰勒
  • 因为是极限，所以使用局部泰勒公式
  • 因为 x 是四次方，所以写成四项；
  • 解析
  • 解答过程：
  • $cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o\left(x^4\right)$
  • 因为：
  • $\mathbb{e}^x=1+x+\frac{\mathbb{x}}{2_1^2}$
  • 得：$e^{-\frac{X^{2}}{2}}=1-\frac{X^{2}}{2}+\frac{1}{2!}\left(-\frac{X^{2}}{2}\right)^{2}+o(X^{4})$
  • 所以有原式 =
  • $\operatorname*{lim}_{x\rightarrow0}\frac{-\frac{1}{12}x^{4}+0(x^{4})}{x^{4}}=-\frac{1}{12}$