Lecture 15：闭区间上连续函数的性质

15.1 基本概念

15.1.1 有界性

定理： #有界性

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：若 $\text{若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。}$

解释

• 在有限闭区间上的连续值一定有最大值和最小值；

15.1.2 最值与介值

定理： #最值定理

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值；

定理： #介值定理

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\neq f(b)$,则对 $f(a)$ 与 $f(b)$ 中 $\text{之间任一数}\mathbf{C},\text{ 至少存在一个 }\xi\in(a,b),\text{ 使得 }f(\xi){=}C.$

15.1.3 零点

定理： #零点定理

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ ,则必 $\exists\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)=0.$