Lecture 13：间断点及其分类

13.1 间断点及其分类

13.1.1 定义

定义： #间断点

<font color="#ccc1d9">描述：若 f (x)在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0为f(x)$ 的间断点；

解释

• 1. F (x) 在 $x_0$ 的某去心邻域需要有定义；
• 2. 满足第一条的前提下，在 $x_0$ 不连续，则为间断点；

间断点的分类

• 1. 第一类间断点：左, 右极限均存在；
• 可去间断点：且左极限=右极限；
• 跳跃间断点：左极限不等于右极限；
• 2. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在；
• 无穷间断点：比如 $1/x$ 中，当 x=0 时；
• 振荡间断点：比如在 x 趋向于 0 时，$sin1/x$ 为振荡间断点；
• 无穷和震荡是第二类当中常见的两种，但是不一定只有这两种，也可能既不是无穷、也不是震荡；

常见的需要分左右极限求极限的情况

• 1. 分段函数分界点；
• 2. E 无穷：$e^{\infty}$；
• 3. Arctan 无穷；

13.1.2 例题

例题：$\text{设函数 }f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\text{,则 }f(x)$ 有？

• 分析
• 1. 先找没有定义的点；
• x=1
• x=0
• 2. 判断类型
• 左右极限如果有区别，就分左右极限；
• 左右极限如果没有区别，就不用分左右极限；
• 解析
• 当 x=0 时，$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\ln|x|=\lim_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}=0$，所以为可去间断点；
• 当 x=1 时，$\lim_{x\to1}f(x)=\sin|\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}$，因为 Inx ~ x-1，所以等价代换，所以得到极限当中的部分为 $\frac{x-1}{|x-1|}$，所以需要分为 x 趋向于 1 正和 1 负，所以为跳跃间断点；
• 题型： #间断点