Chapter 11：多元积分学及其应用

11.1 第一类曲线积分

11.1.1 对弧长的曲线积分

定义：平面上对弧长的线积分

描述： $$\int_{L}f(x,y)ds=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta s_{i}$$

解释

一个二元函数，沿着一个二维的曲线段的积分；
把曲线分成 n 个小端，将曲线的函数值乘以小弧段的长度，将每一段求和、取极限，如果这个极限存在，则线积分存在；

定理：线积分的性质

描述： $$\int_{L(AB)}f(x,y)ds=\int_{L(BA)}f(x,y)ds$$

解释

含义：线积分和路径的方向无关；

推论

1. $\int_{L_{1}+L_{2}}f(x,y)ds=\int_{L_{1}}f(x,y)ds+\int_{L_{2}}f(x,y)ds$；
2. $\int_{L}[df(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_{L}f(x,y)ds+\beta\int_{L}g(x,y)ds$；
3. $\int_{C}f(x,y)ds=\int_{C_{1}}f(x,y)ds+\int_{C_{2}}f(x,y)ds$；
4. $f(x,y)<=g(x,y) ; \int_{L}f(x,y)ds\leq\int_{L}g(x,y)ds$

11.1.2 曲线积分的计算

定理：第一类曲线积分的计算：直接法

描述：假设 L 的参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),&\end{cases}(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)$，则： $$\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\mathrm{d}t$$

解释

注意：
ds 是曲线的弧微分；
上下限是弧长从小到大；

定理：第一类曲线积分的计算：直角方程

描述： $\text{若 }C:y=y(x),\quad a\leq x\leq b$，则：

$$\int_{}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)}\mathrm{d}x$$

解释

相当于把 x 看作为参数；

定理：第一类曲线积分的计算：极坐标方程

描述： $\text{若 }C:\rho=\rho (\theta)\quad\alpha\leq\theta\leq\beta$，则：

$$\int_{C}f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)\sqrt{\rho^{2}(\theta)+\rho^{\prime2}(\theta)}d\theta $$

定理：积分曲线的奇偶性

描述： $$\int_{C}f(x,y)\mathrm{d}s=\begin{cases}2\int_{C_{x>4}}f(x,y)\mathrm{d}s,&f(-x,y)=f(x,y)\\0,&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$$

定理：对称性

描述：一般情况：$\int_{c}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{c}f(y,x)\mathrm{d}s$

特别：$\int_Cf(x)ds=\int_Cf(y)ds$

11.2 第二类曲线积分

解释：方法选择

封闭区间：
格林公式
非封闭区间：
判断：看是否与路径无关 -> 利用偏导数是否相等
是与路径无关
改换路径
利用原函数
不是与路径无关
直接算方便 -> 直接算
直接算不方便 -> 补线格林

11.2.1 基本概念

定义：第二类曲线积分

描述： $$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}[P(\xi_{i},\eta_{i})\Delta x_{i}+Q(\xi_{i},\eta_{i})\Delta y_{i}]$$

解释

把曲线任意划分成 n 个小端，每一个有方向的小弧段在 x 轴上的投影乘以

性质：曲线有方向，改变方向、变符号

$$\int_{L(AB)}Pdx+Qdy=-\int_{L(BA)}Pdx+Qdy$$

11.2.2 计算方法

方法一：直接法

定理：第二类曲线积分的计算

描述：当前参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，从起点 A 到终点 B 中，t 从 α 到 β：$$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{\alpha}^{\beta}[P(\varphi(t),\psi(t))\varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi^{\prime}(t)]dt$$

解释

概念：
写出参数方程、带进去，化成定积分的计算；
注意：
上下限是从起点的参数 -> 终点的参数，而不是按照大小而来的；

方法二：格林公式

在一个平面闭区域 D 的二重积分上，是否可以只求边界曲线 L 上值得相差，而不计算曲面上的所有点的值；
这个作用由格林公式达成；

定义：单连通区域

描述：假设在 D 平面区域内，D 内任意一闭曲线围成的部分都居于 D；否则则称之为复连通区域；

定理：格林公式

描述：闭区域 D 上由分段光滑的曲线 L 围成的，$P(x,y)、Q(x,y)$ 在 D 上有一阶连续偏导；则：

$$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma =\oint_{L}Pdx+Qdy$$

解释

注意：
格林公式使用的范围 -> 必须是在闭区域上：即曲线是封闭的；
正负方向是相对于当前区域而言的；
其中：
L 是区域 D 的正方向的边界曲线；

补充：补线用格林

因为格林公式只能使用在封闭区域，因此当需要在非封闭区域使用时，可以进行补线，将非封闭区域补线为封闭区域，然后对封闭区域使用格林公式后再减去补线的部分，得到结果；

定理：利用线积分与路径无关

描述：

$\text{i)判定:}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} (区域D单连通))$

$ii)计算:$

(a)改换路径：先改成更简单的（一般是沿着坐标轴的）的路径

(b)利用原函数：$\int_{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{1})$

求原函数的方法：1. 偏积分；2. 凑微分；

11.2.3 两类线积分的联系

定理：两类线积分的联系

描述： $$\int_{L}P\mathbf{d}x+Q\mathbf{d}y=\int_{L}(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\mathbf{d}s$$

11.2.4 计算方法：空间

11.2.4.1 直接法

定理：第二类曲面积分的空间计算

描述： $设L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),\quad t\in[\alpha,\beta]$

$$\int_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\=\int_{a}^{\beta}\{P[x(t),y(t),z(t)]x^{\prime}(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y^{\prime}(t)+\\R[x(t),y(t),z(t)]z^{\prime}(t)\}dt$$

11.2.4.2 斯托克斯公式

定理：斯托克斯公式

描述： $$\int_{L}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)dz=$$

解释

平面时：选第一种
其他时候：选第二种

11.3 第一类曲面积分

11.3.1 第一类曲面积分：对面积的曲面积分

引例：已知曲面构件具有连续面密度ρ(x, y, z)，求其质量 M；

图示
用每一个小面积上的密度乘以其面积，然后全部求和，得到完整的质量：$M=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k,\eta_k,\zeta_k){\Delta S_k}$

定义：第一类曲面积分

描述： $\text{设}\sum\text{为光滑曲面},f(x,y,z)\text{ 是定义在}\sum\text{上的一}\text{个有界函数,若对}\Sigma\text{ 做任意分割和局部区域任意取点},$ 可以得到

乘积和式极限：$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf\left(\xi_k,\eta_k,\zeta_k\right)\Delta S_k$ 都存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分；

记作：$$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta S_{i}$$

解释

概念：
$ds$ 相当于小曲面的面积；
$f(x,y,z)$ 相当于曲面的密度；
$f(x,\gamma,z)\operatorname{d}S$ 表示求一小块的质量；
$\iint_{\Sigma}f(x,\gamma,z)\operatorname{d}S$ 表示对整个面上，每个小块求和极限；
$\Sigma$ 称之为积分曲面；
解释：
每个点的函数值，乘以这个点的小区域的面积，求和、取极限，得到对面积的面积分 -> 和曲面的方向没关系，因为面积和方向无关系；
性质：
1. 积分曲面无关性：$$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint_{-\Sigma}f(x,y,z)dS$$
2. 曲面积分存在性：$若 f(x,y,z)\text{在光滑曲面}\sum\text{ 上连续}$，则对面积的曲面积分存在；
3. 对积分域的可加性：若 $\sum$ 是分片光滑的，则有：$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\operatorname{d}S=\iint_{\Sigma_{1}}f(x,y,z)\operatorname{d}S+\iint_{\Sigma_{2}}f(x,y,z)\operatorname{d}S$
4. 对积分的线性性质：$$\begin{aligned}\iint_{\Sigma}[k_1f(x,y,z)\pm k_2g(x,y,z)]&\operatorname{d}S=k_1\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\operatorname{d}S\pm k_2\iint_{\Sigma}g(x,y,z)\operatorname{d}S\end{aligned}$$

11.3.2 对面积的曲面积分的计算

11.3.2.1 直接法

定理：第一类曲面积分的计算

描述：

有光滑曲面，其 $\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}，f(x,y,z)\text{ 在 }\sum\text{上连续}$

则曲面积分 $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS\text{存在},\text{且有}$：

$$\iint_{\Sigma}f(x,y,{z}){\mathrm{d}S}=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z_x}^2(x,y)+{z_y}^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

解释

本质：
把难求的曲面面积，投影成一个对 x、y 上的平面二重积分来完成计算；
即把曲面 $\sum$ 投影到 $D_{xy}$ 上，化成 D 上的一个二重积分；；
${\text{若曲面由方程 }x}=x(y,z){\text{或 }\operatorname*{y}}=y(z,x)\text{ 给出,也可类似地把对面积的面积分化为相应}\text{的二重积分}$；
转化：
将 z 用关于 xy 的式子带进去，得到二重积分；
注意：
当出现类似 $x^2+y^2=1$ 这种中心轴为 z 轴的形式，则无法直接做；
此时应该使用 $y=y(x,z)$ -> $\iint_{\Sigma}f(x,y,{z}){\mathrm{d}S}=\iint_{D_{xy}}f(x,y=y(x,z),z)\sqrt{1+{z_x}^2(x,z)+{z_z}^2(x,z)}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$
同理对于 $x=x(y,z)$ 的形式；

11.3.2.1 奇偶性与对称性

定理：第一类曲面积分的奇偶性

描述：若曲面 $\sum$ 关于 $xoy$ 对称，则：

$$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\begin{cases}2\iint_{\sum_{z>0}} f(x,y,z)\mathrm{d}S,&f(x,y,-z)=f(x,y,z)\\0&f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\end{cases}$$

知识点：对称性

$x^2+y^2+z^2=1$ 具有很好的对称性；
所以可以利用对称性简化计算： $\iint_{\Sigma}(x^2+y^2)ds=(\frac{2}{3})\iint (x^2+y^2+z^2)ds=(\frac{2}{3})\iint 1ds=\frac{2}{3}4\pi$

11.4 第二类曲面积分

11.4.1 有向曲面及曲面元素的投影

指定了侧的曲面，称之为有向曲面，其方向用法向量指向表示

$\text{设 }\Sigma\text{为有向曲面},\text{其面元 }\Delta S\text{ 在 }xOy\text{ 面上的投影记为}\left(\Delta S\right)_{xy}$

11.4.2 第二类曲面积分：对坐标的曲面积分

定义：第二类曲面积分

描述： $$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nR(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$$

解释

注意：第二类曲面积分有方向
概念：什么是曲面的方向
曲面的方向就是曲面侧向的方向，法向方向朝上、则侧朝上，法向方向朝下、则侧朝下；
解释：
一点的函数值 $R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 乘以它在 xy 上的投影： $(\Delta S_i)_{xy}$
如果是 $dxdy$ -> 在 xy 上的投影；
如果是 $dzdx$ -> 在 xz 上的投影；
性质：与积分曲面的方向有关
改变曲面的方向，其值相反；
$$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=-\iint_{-\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

11.4.3 对坐标的曲面积分的计算

11.4.3.1 直接法

定理：第二类曲面积分的计算

描述：

1. $\text{设光滑曲面 }\Sigma:z=z(x,y),(x,y){\in}D_{xy}\text{ 取上侧}R(x,y,z)\text{是 }\Sigma\text{ 上的连续函数, 则}$：

$$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\operatorname{d}x\operatorname{d}y=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\operatorname{d}x\operatorname{d}y$$

2. $\text{设光滑曲面 }\Sigma:x=x(y,z),(y,z){\in}D_{yz}\text{，且 }P(x,y,z)\text{ 是 }\Sigma\text{ 上的连续函数，则}$：

$$\iint_{\Sigma}P(x,y,z){\mathrm{d}y\mathrm{d}z}=\pm\iint_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]\mathrm{d}ydz$$

3. $\text{设曲面 }\Sigma:y=y(z,x),\quad(z,x)\in D_{zx}\text{，则}$：

$$\iint_{\Sigma}Q\,dz\,dx=\pm\iint_{D_{zx}}Q(x,y(z,x),z)\,dz\,dx$$

解释

解释：
把 dxdy 的二型面积分，化成了 Dxy 投影域上的面积分；
正负号的选择：
若是在 xy 上投影：
上侧做积分 -> 正号；
下侧做积分 -> 负号；
若是在 yz 上投影：
yoz 的前侧 -> 正号；
yoz 的后侧 -> 负号；
若是在 xz 上投影：
xoz 的右侧 -> 正号；
xoz 的左侧 -> 负号；
注意：
若是在 z=f(x,y) 时：
若 x 为常数 -> 投影域就是直线，此时积分就是等于 0；
若 y 为常数 -> 投影域也是直线，此时积分也是等于 0；

11.4.3.2 高斯公式

定理：高斯公式

描述： $$\oint\oint_{\Sigma_{\text{外}}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}zdx+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V$$

解释

概念：
建立一个封闭曲面外侧的二型面积分，跟这个曲面所围成区域上空间体的三重积分的关系；
实际上，它是跟曲线积分里边的格林公式是完全类似的结论；
格林公式是建立一个平面封闭曲线的的线积分和这个封闭曲线所围成区域上二重积分的关系；

补充：补面用高斯公式

曲面不封闭时，补一个面，使用高斯公式；
然后用高斯公式计算的结果 - 补上的部分；

11.4.4 两类曲面积分的联系

概念：两类曲面积分的联系

公式：$$\iint_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S=\iint_{\Sigma}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$$
解释：
右端是一个二型面积分；
左端是一个一型面积分；
$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是曲面在该点的法向量的三个方向余弦；