Chapter 10：向量代数与空间几何

10.1 向量代数

10.1.1 数量积

定理：向量代数的数量积

描述：

$$1\text{)几何表示: }\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\cos\alpha $$

$$2\text{)代数表示:}\quad\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}_xb_x+\mathbf{a}_yb_y+\mathbf{a}_zb_z$$

$$3\text{)运算规律:}\quad 交换律：\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} \quad \text{分配律: }\mathbf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$$

$$4\text{)几何应用:}\quad 求模：|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}} \quad \text{求夹角: }\cos\alpha=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\quad \text{判定两向量垂直:}\mathbf{a\perp b\Leftrightarrow a\cdot b=0}$$

10.1.2 向量积

定理：向量代数的向量积

描述：

$1. \text{几何表示:}\quad\mathbf{a}\times\mathbf{b}\text{ 是一向量}.\quad\text{模}:\mid\mathbf{a}\times\mathbf{b}\mid=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\sin\alpha$

$2. \text{代数表示:}\quad{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$

$3. i) a\times b= - ( b\times a) \quad ii)分配律：a\times(b+c)=a\times b+a\times c$

$4. 运算规律：i)求同时垂直于 a 和 b 的向量: a×b\quad ii)求以 a 和 b 为邻边的平行四边形面积:S=|a×b|\quad iii)判断两向量平行：\mathbf{a//b}\Leftrightarrow\mathbf{a\times b}=0$

解释

几何表示 -> 右手法则 -> 垂直于 $a,b$ 向量的一个直线；
注意：
数量积满足交换律，向量积不满足交换律；

10.1.3 混合积

定理：向量代数的混合积

描述：

基本表述：$\left[ abc \right] = (a \times b) \cdot c$

定义： $$\ a = a_xi + a_yj + a_zk \\ b = b_xi + b_yj + b_zk \\ c = c_xi + c_yj + c_zk$$

性质：

（1）$$(a\times b)\cdot c = a\cdot(b\times c) = b \cdot (c\times a)$$

$$轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)\quad 交换变号：(\mathbf{abc})=-(\mathbf{acb})$$

（2）$$\begin{aligned}(a\times b)\cdot c=-(b\times a)\cdot c\\(a\times b)\cdot c=-(c\times b)\cdot a\\(a\times b)\cdot c=-(a\times c)\cdot b\end{aligned}$$

（3）$$a\text{、}b\text{、}c\text{三向量共面}\Leftrightarrow[abc]=0$$

几何意义：

1. 向量的混合积 $[abc]=(a\times b)\cdot c$ 的绝对值在数值上等于以向量 a、b、c 为棱的平行六面体的体积

2. $V_\text{平行六面体}=|\mathrm{(abc)}|$

10.2 空间平面与直线

10.2.1 平面方程

定义：平面方程

描述：

$1\text{)一般式:}\quad Ax+By+Cz+D=0.\quad\mathbf{n}=\{A,B,C\}$

$2\text{)点法式:}\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$3\text{)截距式:}\quad\frac xa+\frac yb+\frac zc=1$

10.2.2 直线方程

定义：直线方程

描述：

$$1)\text{一般式:}\quad\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$$

$$2)\text{对称式:}\quad\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$$

$$3)参数式：x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt.$$

10.2.3 距离关系

核心：平面 -> 看法线向量；直线 -> 看方向向量

概念：点到面的距离

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cy+D=0$ 的距离
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

概念：点到直线距离

$\text{点 }({x_0,y_0,z_0})\text{ 到直线 }\frac{x-x_1}l=\frac{y-y_1}m=\frac{z-z_1}n$
$$d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\}\times\{l,m,n\}|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\quad J}$$

10.3 曲面与空间曲线

10.3.1 基本概念

定义：空间曲面

描述： $$F(x,y,z)=0\quad\text{或 }z=f(x,y)$$

举例：$x+y+z=1$

图示：

定义：空间曲线

描述： $$\text{i)参数式:}\quad\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{ii)一般式:}\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$$

补充：为什么空间曲面只要一个方程确定，而空间曲线要两个

核心：
一个方程减少一个自由度；
曲面有两个自由度，而曲线只有一个；
因此空间曲线的一般式是关于 xyz 的两个方程；

10.3.2 常见曲面

曲面一：旋转面 -> 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转

设 $L$ 是 $yoz$ 平面上一条曲线，其方程是：$\begin{cases}f({y},z)=0\\x=0\end{cases}$
（1）$L\text{ 绕 }(y)\text{轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0.$
（2）$L\text{ 绕 }z\text{ 轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0.$

曲面二：柱面 -> 平行于定直线并沿定曲线移动的直线 L 形成的轨迹;

$准线为\Gamma:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0$
$准线为\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0$
图示：锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱面 $x^{2}+y^{2}\le2x$ 的区域上：
锥面：
柱面：
三维：

曲面三：二次曲面

$$\text{椭圆锥面 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2;$$
$$\text{椭球面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;$$
(3) 单叶双曲面 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$$
(4) 双叶双曲面 $$\frac {x^{2}}{a^{2}}- \frac {y^{2}}{b^{2}}- \frac {z^{2}}{c^{2}}= 1$$
(5) 椭圆抛物面 $$\text{椭圆抛物面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;$$

曲面四：空间曲面投影

$q曲线\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上的投影曲线方程为：\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$