Chapter 8：重积分

8.1 二重积分

定义：二重积分

如果 $f(x,y)$ 是区域 D 上的有界函数，将区域 D 任意的分成 n 个区域：$\sigma_{1}$ 、$\sigma_{2}$.... $\sigma_{n}$，每个 $\sigma_{n}$ 上任取一点 $(\xi_{i},\eta_{i})$，做 $f(\xi,\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$ ，当 $\lambda\to0$ 时：
称下式为二重积分： $$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}\Delta\sigma_{i}f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)=\int\int_{D}f(x,y)d\sigma $$

定理：二重积分的性质

（1）
如果在 D 上，$f(x,y)\leq g(x,y)$ ，则有不等式：
$$\int\int_Df(x,y)d\sigma\leq\int\int_Dg(x,y)d\sigma $$
（2）
若在 $D$ 上有 $m\leq f(x,y)\leq M$，则：
$$mS\leq\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq MS$$
（3）
积分的绝对值，小于绝对值的而积分
$$\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leq\iint_D\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\sigma.$$
（4）
如果 $f(x,y)$ 在区域 D 上的数值恒等于 1，则其二重积分就是：
$$\int\int_{D}\left(1) d\sigma=\sigma\times1\right.$$

定理：二重积分的中值定理

设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 D 上连续，S 为区域 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使得：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot S$$

适合极坐标

（1）适合用极坐标计算的被积函数
公式：
$$f(x^2+y^2),f(\sqrt{x^2+y^2}),f(\frac yx),f(\frac xy)$$
原因：
$\sqrt{x^2+y^2}$ 在直角坐标系下比较复杂，但是在极坐标下就代表 ρ
$\frac yx$ 在极坐标系就是表示角度
（2）适合用极坐标的积分域
$$x^{2}+y^{2}\leq R^{2};\quad\quad\quad r^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq R^{2};\quad\quad\quad\\x^{2}+y^{2}\leq2ax;\quad\quad\quad x^{2}+y^{2}\leq2by;$$
注意：
当圆心不在原点时，可以将 $x-x_0$ 设为 $\rho\sin\theta$，同理对 $y-y_0$
其中，如果（1）和（2）发生矛盾，以（1）为主

定理：基于直角坐标系的二重积分计算

（1）先 Y 后 X：$$\int\int_D{f(x,y)d\sigma = \int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx}$$
区域：$\begin{aligned}\varphi_1(x)&\leq y\leq\varphi_2(x)\cdot\\a&\leq x\leq b\end{aligned}$
其中 $\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)$ 代表的是 x 的取值范围，是 x 关于 y 的函数，$\varphi_1(x)$ 就是实际的 y 等于的值；
（2）先 X 后 Y：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$$
区域：$\begin{aligned}\Psi(y)&\leq X\leq\Psi_2(y)\\c&\leq y\leq d\end{aligned}$
确定积分限；
先 Y 后 X 时：
dy 的积分上限与下限 -> 从下往上画一条射线，射线的下端为 dy 积分下限，射线的上端为 dy 的积分上限；
dx 的积分上限与下限 -> 观察图像，看 x 的取值范围；
先 X 后 Y 时：
dx 的积分上限与下限 -> 从左往右画一条射线，射线的左端为 dx 积分下限，射线的上端为 dx 的积分下限；
dy 的积分上限与下限 -> 观察图像，看 y 的取值范围；

定理：基于极坐标的二重积分计算

$$\text{先 }\rho\text{ 后 }\theta\quad\iint_Df (x, y)\mathrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1 (\theta)}^{\varphi_2 (\theta)}f (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$
区域：$\begin{aligned}\varphi_1(0)&\leq p\leq\varphi_2(0)\\\alpha&\leq\theta\leq\beta.\end{aligned}$

定理：奇偶性

若积分 D 关系 Y 轴对称，则函数关于 X 有奇偶性：
$$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{x\geq0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma;&f(-x,y)=f(x,y)\\0;&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$$
若积分 D 关系 X 轴对称，则函数关于 Y 有奇偶性：
$$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{y_{z_0}}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma&f(x,-y)=f(x,y)\\0&f(x,-y)=-f(x,y)\end{cases}$$

定理：对称性

$$\text{若 }D\text{ 关于 }y=x\text{ 对称,则}\quad\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_Df(y,x)\mathrm{d}\sigma $$
或：
$$\int\int_{D(x,y)} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\int_{D(u,v)} f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\int\int_{D(y,x)} f(y,x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$

定义：三重积分

$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}\mathbf{v}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k},\eta_{k},\xi_{k})\Delta\nu_{k}$
一个三元函数，在一个空间体 $\Omega$ 当中的积分；
$\Delta\nu_{k}$ 为第 k 个小区域的几何体的体积；

计算：直角坐标

方法一：先一后二 $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{dv}=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz$$
方法二：先二后一 $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}\mathbf{v}=\int_{c_{1}}^{c_{2}}dz\iint_{D_{c}}f(x,y,z)dxdy$$

计算：柱坐标

定义：柱坐标
$$\begin{cases}x=r\cos\theta,&\quad0\leq r<+\infty,\\y=r\sin\theta,&\quad0\leq\theta\leq2\pi,\\z=z,&\quad-\infty<z<+\infty.\end{cases}$$
图示：
计算：
体积微元：$dv=\rho d\rho d\theta dz$
$$\iiint_\Omega f(x,y,z)d\nu=\iiint_{\Omega}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)r\operatorname{d}r\operatorname{d}\theta\operatorname{d}z$$

计算：球坐标

定义：球坐标
$$\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta,&\quad0\leq r<+\infty,\\y=r\sin\varphi\sin\theta,&\quad0\leq\varphi\leq\pi,\\z=r\cos\varphi,&\quad0\leq\theta\leq2\pi.\end{cases}$$
图示：
计算：
体积微元：$dv=r^{2}\sin\varphi drd\varphi d\theta$
$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)d\nu =\iiint_\Omega f (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) r^2\sin\varphi\operatorname{d}r\operatorname{d}\varphi\operatorname{d}\theta$$
适用：被积函数可以被写成 $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ 或者中心在原点的球体、球面、半球体、曲顶锥体 -> 适合用球坐标