Chapter 7：多元函数微分学

7.1 多元函数基础

定义：多元函数的极限

定义：多元函数的连续性

定义：偏导数

对 X：
$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$$
其他形式：$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$
对 Y：
$$lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}$$
其他形式：
$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$

定义：偏导数的几何意义

定义：高阶偏导数

$$\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}=f_{xx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}^{\prime\prime}$$
$$\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=f_{yy}^{\prime\prime}$$

并且：$$\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$$

定义：多元函数的全微分

若 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分；
即：$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$

定理：可微的必要条件

$\begin{aligned}&\text{如果}z=f(x,y)\text{ 在点}\left(x_0,y_0\right)\text{处可微},\text{则在点}\left(x_0,y_0\right)\text{处}\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\text{ 必定存在,即以下式子存在}\end{aligned}$：$$\mathbf{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{d}y$$
可微分 -> 可导；
可导 -x> 可微分；
一阶偏导数连续 -> 可微分；
可微分 -x> 一阶偏导数连续；

定理：可微的充分条件

如果 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微；

解题：可微、可导、连续、偏导连续的判断

判断是否可微：
1. 定义法：
第一步：判断 $f_{x}(x_{0},y_{0})与 f_{y}(x_{0},y_{0})\text{ 是否都存在}$；
第二步：使用以下定义，判断其重极限是否存在；
公式： $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0,}y_{0})\Delta y]}{\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}}$$
判断是否可导：
1. 定义法：分别求对 x 的偏导、y 的偏导，使用偏导数定义、分析偏导数对应的一元函数导数是否存在；
公式（X 偏导）：$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$$
2. 先带后求：
判断是否连续：
1. 定义法：
（1）证明连续：在某点的函数值是否等于其函数的极限值，如果等于、则连续；
（2）证明不连续：同；
2. 特殊 y 值法：
用某一固定的 y 的函数带入函数当中，经常用于证明不连续；
常用形式：
$y=kx$
$y=0$
判断偏导数是否连续：
注意：
多元函数连续 ≠ 多元函数偏导数连续；
偏导数是否连续，是指的 对 X 或对 Y 的偏导数 这个导函数是否连续；
1. 定义法：利用对 X 或对 Y 的偏导数函数定义求解：
如果以下公式不成立，则偏导数不连续；
公式（对 X 的偏导数函数）：$$\lim_{x\to0,y\to0}f_{x}(x,y)=f_{x}(0,0)$$

多元函数微分法中的问题：

定理：多元复合函数求导法则

设 $u=u(x,y),\quad v=v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处有连续偏导数，则 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的两个偏导数存在，且有：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

定理：全微分形式不变性

设函数 $z=f(u,v),\quad u=u(x,v)$ 及 $\nu=\nu(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 的全微分不变性：
$$\mathbf{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{d}y=\frac{\partial z}{\partial u}\operatorname{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\operatorname{d}v.$$
多元函数也具有微分形式的不变性；
由此推导而来：$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

定义：多元函数隐函数

定理：隐函数存在定理

定理：多元隐函数存在定理

$F(x,y,z)$ 在点 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 邻域内连续可偏导，且 $F(x_{0},y_{0},z_{0})=0,F_{z}\:{\prime}(x_{0},y_{0},z_{0})\neq0$ 则由 $F(x,y,z)=0$ 在 $M_{0}$ 邻域内唯一确定一个连续可导函数 $z=\varphi(x,y)$ 且 $z_0=\varphi(x_0,y_0)$
则：$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}’}{F_{z}’},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}’}{F_{z}’}$$

定义：多元函数的极值

在一个邻域中，多元函数的最大值或者最小值；
若在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域中恒成立不等式：$$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\quad(f(x,y)\geq f(x_0,y_0))$$
则称 f 在点 $(x_0,y_0)$ 取得极大值 (极小值)，点 $(x_0,y_0)$ 称为 f 的极大值点 (极小值点)；
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；

定义：多元函数的驻点

定理：多元函数极值存在的必要条件

如果 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有偏导数，并且在 $(x_0,y_0)$ 处取得极值，则有：$$f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0，f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0$$

定理：极值的充分条件

多元函数的驻点极值性判断

当 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，又 $f_x^{\prime}(x_0,y_{0})=f_y^{\prime}(x_0,y_{0})=0$ 时，$A=f_{xx}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})\quad\quad B=f_{xy}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})\quad\quad C=f_{yy}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})$；
1. 如果是 $AC-B^{2}>0$，则有极值
1. A<0，是极大值；
1. A>0，是极小值；
1. 如果是 $AC-B^{2}<0$，则无极值
2. 如果是 $AC-B^{2}=0$，则只能用定义判断

定义：条件极值

定理：拉格朗日乘数法

（1）单个约束条件时：令 $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
则取到极值的必要条件为：$$\begin{cases}F_x=f_x^{\prime}(x,y)+\lambda\varphi_x^{\prime}(x,y)=0,\\F_y=f_y^{\prime}(x,y)+\lambda\varphi_y^{\prime}(x,y)=0,\\F_\lambda=\varphi(x,y)=0,\end{cases}$$
（2）多个约束条件时：$f(x,y,z)\text{ 在条件 }\varphi(x,y,z)=0,\psi(x,y,z)=0$ 条件下的条件极值
令 $F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$