Chapter 6：微分方程

6.1 一阶微分方程

题型一：可分离变量

形式：
$$y^{\prime}=f(x)g(y)$$
方法：
$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ -> $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ 可以把 $g(y)$ 和 $dy$ 、$f(x)$ 个 $dx$ 分离到等式的两边 -> 可分离变量的微分方程；
可分离变量的解：两边积分 $$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

题型二：一阶齐次方程

形式：
$$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$$
方法：
第零步：整理成齐次方程的形式，左边只有 $\frac{dy}{dx}$，即 $\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$；
第一步：写下 $u=\frac{y}{x}$
第二步：因为 $y=xu$，所以对 y 求导后，可以得到 $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ ，即得到了 $y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=u+xu^{\prime}$ 的表达式；
第三步：带会原函数，得到 $u+x\frac{du}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$，这个方程是可分离变量；
即：把其变成可分离变量，求解；

题型三：一阶线性方程

形式：
$$y^{\prime}+P(x)y=Q(x)$$
方法：
整理成标准形式，带通解公式
$$y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$$

6.2 二阶微分方程

题型四：二阶常系数齐次方程

形式：
$$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0$$
方法：
第一步：写特征方程
第二步：找出特征根
第三步，根据根的方程，写出对应式子
若是不等实根
通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
若是相等实根
通解：$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$
若是共轭复根
通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

题型五：二阶常系数非齐次方程

形式：
方程： $$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)$$
两种非齐次项：
1. $$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$$
2. $$f (x)=e^{\alpha x}\left\lfloor P_{l}^{(1)}(x)\cos\beta x+P_{n}^{(2)}(x)\sin\beta x\right\rfloor$$

总结：方法

1. 确定解由几个成分构成，如果由多个成分构成，需要分别为其设特解；
2. 求出齐次通解
第一步：写特征方程
第二步：找出特征根
第三步，根据根的方程，写出对应式子
注意：
齐次通解中的 $e$ 是 $e^{r x}$，而不是 $e^{\lambda x}$
所以可以由齐次方程的通解式，知道当前非齐次方程的特征方程 $r$，但注意是 $r$、不是齐次式中的 $\lambda$
若是单实根
通解：$y=C_1e^{r_1x}$
若是不等实根
通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
若是相等实根
通解：$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$
若是共轭复根：$r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$
$\beta$ 为求出来的特征根后背的系数，即此式子 $r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$ 中的 $\beta$
通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
3. 设特解 $y^{*}$：
为每个部分设出待定特解为：$y^{}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$ 或者 $y^{}=x^{k}e^{\alpha x}\bigl[R_{m}^{(1)}(x)\cos\beta x+R_{m}^{(2)}(x)\sin\beta x\bigr]$
4. 求待定特解各项：
$e^{\lambda x}$ 或 $e^{\alpha x}$
-> 直接从原式中带进来 -> 顺便还定了这个 $\lambda$ 或者 $\alpha$ 的值；
$Q_m(x)$
根据 $P(x)$ 的情况，分析：
如果 $P(x)$ 是情况一：$P_{m}(x)$
观察原式的 $P_{m}(x)$
如果是常数项，设为 $a$；
如果是一次项，设为 $ax+b$；
如果是二次式，设为 $ax^2+bx+c$；
如果 $P(x)$ 是情况二：$\bigl[R_{m}^{(1)}(x)\cos\beta x+R_{m}^{(2)}(x)\sin\beta x\bigr]$
如果 cos 和 sin 都存在：
取原式中 $P_{l}^{(1)}(x)$ 和 $P_{n}^{(2)}(x)$ 当中的最高项；
原式为 $f (x)=e^{\alpha x}\left\lfloor P_{l}^{(1)}(x)\cos\beta x+P_{n}^{(2)}(x)\sin\beta x\right\rfloor$
如果是常数项，设为 $A\sin x+B\cos x$；
如果是一次项，设为 $(Ax+B)\sin x+(Cx+D)\cos x$ 类似这种形式；
如果 cos 和 sin 只有一个存在：
其存在的那个函数当中的值作为最高项，步骤同 cos 和 sin 都存在时；
$x^{k}$
确定 $x^{k}$ 的 $k$：
如果是情况一：
如何确定几重根 -> k 的数值，是当前方程的齐次方程中求出来的特征方程中、含根 $\lambda$ 的次数。
举例：求齐次方程的通解后，得到 $r_1=3,r_2=1$ ，若 $\lambda =2$，则特征方程中出现了 0 次根 $\lambda$ -> 所以 $k=0$
如果是情况二：
根据 $\alpha+i\beta$ 是方程的几重根，判断 $k$ 的取值
$\alpha$ 来自 $e^{\alpha x}$ 中，$\beta$ 来自 $P_{l}^{(1)}(x)\cos\beta x+P_{n}^{(2)}(x)\sin\beta x$ 的三角函数中；
如果 $\alpha+i\beta$ 不是特征根，则 $k=0$；如果是单根，则 $k=1$；如果是二重根，则 $k=2$；
注意：
如果 $r_{1,2}=\pm 1$，表示 $1$ 和 $-1$ 两个不同的单根，不能把符号 $\pm$ 误认为二重根；
5. 确定系数与任意常数
（1）确定非齐次项待定特解的系数
在前面设好了 $y^{}$ 的各个成分后，因为此时 $y^{}$ 当中还有待定系数，此时将设好的函数代换原方程，比较两端同次幂的系数，然后得到 $y^{*}$ 的结果；
假如当前方程式是 $y^{\prime\prime}+y=\sin x$，此时就需要将 $y({})$ 和 $y^{\prime\prime}()$ 代入原方程中，然后比较两端同次幂的系数，然后得到 $y^{*}$ 中各个系数的结果；
（2）确定通解中的任意常数 $C_1$ 和 $C_2$
根据题目给出的两个初始条件或边界条件，例如 $f(0)=0$、$f^{\prime}(0)=1$；
将条件代入完整通解 $y=y_h+y_p$，解出任意常数；
6. 若是三阶及其以上的微分方程，按照以下方法合并
7. 如果需要求出整个方程的特解，则可以将限制条件代入到通解式当中，定出其中的常数 $C_1$，$C_2$，得到微分方程的特解；
补充：
1. 非齐次项部分两个解的差，等于齐次的一个解；
2. 非齐次项的解具有叠加性；

题型六：$y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$ 型可降阶方程

形式：
$$y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$$
方法：
令： ${y^{\prime}=P,y^{\prime\prime}=\frac{dP}{dx}}$
得到： $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$ 关于 p、x 的一阶方程，然后进行分离变量；

题型七：$y"=f(y,y^{\prime})$ 型可降阶方程

形式：
$$y"=f(y,y^{\prime})$$
方法：
设： $y^{\prime}=P$、$y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dy}P$；
变成只有 y、p，没有 x 的一阶方程，然后使用分离变量法；