Chapter 3：微分中值定理 — 高等数学 - 公式合集

Chapter 3：微分中值定理

3.1 三大定理

罗尔定理

• 定义：
• 若满足三个条件：
• 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续；
• 2）$f$ 在 $(a,b)$ 内可导；
• 3）f (a)=f (b)
• 则可知：$$\text{则 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0$$
• 图示：
• 

拉格朗日中值定理

• 定义：
• 若满足以下几个条件：
• 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续
• 2）$f$ 在 ($a,b)$ 内可导
• 则：$$\text{可得 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$$
• 图示：
• 

柯西中值定理

• 定义：
• 若满足以下条件：
• 1）$f,F\text{ 在 }[a,b]\text{上连续};$
• 2）$f,F\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,且 }\forall x\in(a,b),F^{\prime}(x)\neq0$
• 则：$$\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$$
• 图示：
• 

三大定理关系

3.2 导数应用

凹凸性

• 定义：
• $\text{设函数}f(x)\text{在区间 }I\text{ 上连续, 如果对}$$I$ 上任意两点 $x_1,x_2$
• 1）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的
• 2）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的
• 方法：
• 用一阶导数的正负 -> 判断函数的单调性；
• 用二阶导数的正负 -> 判断函数的凹凸性；
• 判定：
• $\text{设函数}f(x)\text{ 在区间 }[a,b]\text{ 上连续},\text{ 在 }(a,b)\text{ 内二阶可导},$
• 1）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)\text{>0, 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凹的}$；
• 2）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)<0,\text{ 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凸的}$

拐点

• 定义：
• 连续曲线上，凹凸性质发生变化的分界点；
• 可能取值点：
• 1. ${f^{\prime\prime}(x_0)=0}$；
• 2. 二阶导数不存在的点；

渐近线

• 定义：
• 1）水平渐近线：若 $\lim_{x\to\infty}f(x)=A\left(\lim_{x\to-\infty}f(x)=A\right.$,或 $\lim_{x\to+\infty}\overline{f(x)=A}$)，那么 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时，$y=A\text{ 是曲线 }y=f(x)\text{ 的水平渐近线}.$
• 2）垂直渐近线：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ,那么 $x=x_0$ 是 $y=f(x)$ 的垂直渐近线；
• 3）斜渐近线：若 $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a\mathrm{~,~}b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)\mathrm{~,~}\text{那么 }\mathrm{~}y=ax+b\mathrm{~}\text{是}$ $y=f(x)\text{ 的斜渐近线}.$
• 方法：
• 1. 判断水平渐近线 -> 当 x -> 无穷时，y 趋向于有限值；
• 2. 判断垂直渐近线 -> 当 x -> 某一点（有限值），y 趋向于无穷；
• 3. 判断斜渐近线
• -> $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$ 有限值；
• -> $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=b$ 存在
• 此时有斜渐近线；