Chapter 2：导数与微分 — 高等数学 - 公式合集

Chapter 2：导数与微分

2.1 导数

导数定义

• 定义：
• $\begin{aligned}\text{若 }&\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}&\text{存在，则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 点可导}.\end{aligned}$
• 另一种形式：
• $f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
• 形式一：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
• 形式二：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

左右导数

• 左右导数的关系：可导 <--> 左右导数存在且相等；

2.2 求导

2.2.1 方法一：和差积商求导法则

有理运算法则

设 $u(x),\nu(x)$ 都可导，则

• $(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$
• $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$
• $(\frac\mu\nu)^{\prime}=\frac{\mu^{\prime}\nu-\nu^{\prime}\mu}{\nu^2}\quad(\nu\neq0)$

2.2.2 方法二：反函数求导法则

反函数求导

• 公式：
• $$(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(y)}\quad\frac{dy}{dx}=\frac1{dx}$$
• 含义：
• 函数和反函数是两个函数，但是是同一条曲线；
• 因此当函数连续且单调时，可以知其反函数也同样可导；

2.2.3 方法三：复合函数求导法则

链式法则

• 设 $u=g(x)$ 在 $x$ 可导，$y=f(u)$ 在对应 $u$ 处可导，则 $y=f[g(x)]$ 在 x 处可导。
• 则： $\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)$
• 其他形式：
• $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

2.2.4 方法四：求导结论

基本初等函数

• 基本
• $\begin{aligned}&\quad(C)^{\prime}=0\quad&\quad(x^\alpha)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}\\&\quad(a^x)^{\prime}=a^x\ln a\quad&\quad(e^x)^{\prime}=e^x\\&\quad(\log_ax)^{\prime}=\frac1{x\ln a}\quad&\quad(\ln|x|)^{\prime}=\frac1x\end{aligned}$
• 三角函数
• $(\sin x)^{\prime}=\cos x\quad\quad\quad\quad\quad(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
• $\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$
• 反函数导数
• $\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(\operatorname{arccot}x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$

2.2.5 方法五：对数求导法

例题：$\text{设}y=\left(1+\sin x\right)^{x},\text{则}\mathrm{d}y|_{x=\pi}=$

• 分析
• 这是幂指函数型，可以使用对数求导法；
• 解析
• 先取对数：$\ln y=x\ln(1+\sin x)$
• 两边同时求导：$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln(1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}$
• 提出 $y^{\prime}$，得到导函数
• 带入 x=Π；

重要结论

• $(\ln|x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$

适用场合

• 1. 幂指型函数；
• 2. 连乘、连除、乘法、开方；

2.3 高阶导数

常见求 n 阶导数

• 指数
• $(e^{x})^{(n)}=e^{x}$
• 三角函数
• $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac\pi2)$
• $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})$
• In 函数
• $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$
• 加法
• $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
• 乘法
• 莱布尼茨公式
• ${(uv)^{(n)}}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$

2.4 微分

微分定义

• $\text{若 }f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\text{ ，则称 }f(x)$ $在 x _0点可微；$
• $A\Delta x 称为 f(x)在 x_0 点的微分$
• 第一部分为函数变化的主要部分
• 第二部分为高阶无穷小，为次要部分

可微、可导、连续之间关系

2.5 泰勒公式

公式：带 Peano 余项的泰勒公式

• $\text{设}f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处 }n\text{ 阶可微,则}$：
• $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$$
• $$f\left(x\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{0!}+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)}{2!}(x-x_{0})^{2}+\ldots+\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_0)^n)$$
• $$\text{用}n+1\text{阶导数表示的余项叫拉格朗日余项, 用}o\left (x^n\right)\text{或者}o\left (\left (x-x_0\right)^n\right)\text{表示的是Peano 余项 }$$

公式：带 Peano 余项的泰勒公式 - 零点的泰勒展开

• $$\begin{gathered}\text{若 }x_0=0\text{，则}\\f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1},\quad0<\theta<1.\\\text{上式称为 }f(x)\text{ 的 Maclaurin 公式。}\end{gathered}$$

公式：带有 拉格朗日余项 的泰勒公式

• 其中的 $\xi$ 位于 $x$ 到 $x_0$ 之间，因此
• $$f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$