Lecture 4：知识 - 浮点数的表示与运算

描述：浮点数以“尾数决定精度、阶码决定范围”为核心。其运算不是直接相加，而是对阶、尾数运算、规格化、舍入，并最终判断阶码是否溢出。

2.1 浮点表示与规格化

2.1.1 基本形式

浮点数一般写作：

$$X=(-1)^S\times M\times R^E$$

• 浮点表示能显著扩大范围，但在相同字长下可表示的数的个数并没有增加，所以数轴分布更稀疏且不均匀，精度不如同字长定点数均匀。
• 规格化要求非零尾数的最高有效位尽量靠前。二进制规格化常写为 $1.xxxx\times2^E$，表示形式唯一并充分利用尾数字段。
• 左规：尾数最高位未出现有效 1 时，尾数左移、阶码减 1，可连续多次；右规：尾数产生进位到小数点左边时，尾数右移、阶码加 1，通常只需一次。

2.1.2 IEEE 754

• IEEE 754 的规格化二进制尾数首位恒为 1，故不存该位，称隐藏位。单精度的 23 位 fraction 实际提供 24 位有效二进制位。
• 阶码存储的是“真阶码 + 偏置”。例如单精度真阶码 $3$ 编为 $127+3=130=82_H$。
• 源 PDF 第 1 页把单精度偏置写成了 128，与其后页的公式和 IEEE 754 标准不符；实际偏置是 127，不能把这一处误印带入计算。
• 规格化有限数的最小正值和最大正值分别为：

对应的有限负数范围关于 0 对称，但 0 与最小正规格化正数之间还有非规格化数。

原 PDF 的两道范围题

1. 2012 年题：IEEE 754 单精度 float 能表示的最大正整数是多少？选项为 A $2^{126}-2^{103}$、B $2^{127}-2^{104}$、C $2^{127}-2^{103}$、D $2^{128}-2^{104}$。最大有限数的阶码字段为 254，真阶码为 $254-127=127$；尾数字段全 1 时有效数为 $2-2^{-23}$，故最大值是 $(2-2^{-23})2^{127}=2^{128}-2^{104}$，选 D。这个值本身是整数；题目不是问“从 0 起每个整数都能连续精确表示到哪里”。
2. 2018 年题：IEEE 754 单精度格式能表示的最小正规格化正数是多少？选项为 A $1.0\times2^{-126}$、B $1.0\times2^{-127}$、C $1.0\times2^{-128}$、D $1.0\times2^{-149}$。规格化数的最小阶码字段为 1，真阶码为 $1-127=-126$，fraction 全 0 时有效数为 1，故选 A；D 是最小正非规格化数。

• 单精度非规格化数的真值为 $(-1)^S\times0.f\times2^{-126}$，最小正非零值为 $2^{-149}$；双精度对应最小正非零值为 $2^{-1074}$。它们填补了 0 与各自最小正规格化数之间的间隙。
• “浮点范围大”不等于能精确表示所有大整数。单精度只有 24 位有效二进制精度，40 位整数即使数值没超范围，也可能无法精确表示；double 的有效尾数更多。

例：$-8.25$ 的 IEEE 754 单精度编码

源 PDF 的图示换算如下：

$$ -8.25_{10}=-1000.01_2=-1.00001_2\times2^3 $$

• 数符 $S=1$；
• 真阶码 $E=3$，阶码字段 $e=3+127=130=10000010_2$；
• 隐藏最高位 1 后，fraction 为 00001000000000000000000。

因此 32 位编码为：

1 | 10000010 | 00001000000000000000000

对应十六进制为 0xC1040000。

二进制小数与十进制小数

二进制小数从小数点后第一位起，位权依次为 $2^{-1},2^{-2},2^{-3},\ldots$。原 PDF 的两个示例为 $0.001_2=2^{-3}=0.125_{10}$，以及 $0.011_2=2^{-2}+2^{-3}=0.375_{10}$。反向将 $0.375_{10}$ 转为二进制，可依次乘以 2 并取整数位：$0.375\times2=0.75$ 取 0，$0.75\times2=1.5$ 取 1，$0.5\times2=1.0$ 取 1，得到 $0.011_2$。

2.2 浮点加减运算

2.2.1 四步过程

• 对阶时右移丢出的低位不应立刻抛弃，应保留为保护位/舍入信息参加中间运算，否则会额外损失精度。
• 基数为 2 时，左规一次“尾数乘 2、阶码减 1”，右规一次“尾数除 2、阶码加 1”，数值本身不变。
• 尾数溢出本身不等于最终溢出：可通过右规将其恢复为规格化形式；真正的数值溢出主要看最终阶码是否超范围。

2.2.2 舍入方式

例：若尾数保留小数点后两位，即保留 1.24 这样的三位有效数字，则 $1.2400\times10^5+0.0050\times10^5=1.2450\times10^5$ 恰在 $1.24\times10^5$ 与 $1.25\times10^5$ 中间，按偶数优先取 $1.24\times10^5$。

2.2.3 上溢、下溢与机器零

• 上溢：最终结果绝对值超过最大可表示有限数，正上溢与负上溢都需异常处理或相应溢出结果。
• 下溢（教材简化口径）：规格化后的真阶码低于正常阶码下界。IEEE 754 可先用非规格化数实现渐进下溢；能被非规格化数精确表示的微小结果不必直接变成 0，严格的 IEEE 下溢异常还与舍入后是否不精确有关。
• 左规会使阶码减小，可能造成指数下溢；右规或舍入进位会使阶码加大，可能造成指数上溢。
• 机器零通常指尾数为 0，或在不支持/不采用非规格化数的简化模型中因阶码下溢而被冲刷为 0 的结果。非零但尚未规格化的尾数应先继续规格化，不能仅因“形式不规范”就判为机器零。

2.3 定点与浮点的比较、C 语言转换

• C 中 float 通常对应 IEEE 单精度，double 对应双精度，long double 的长度与格式由编译器和平台决定。
• “类型等级更高”不等于转换一定无损。char -> int（当 int 能覆盖其范围）、int -> long（目标范围足够）和 float -> double 通常能保值；long -> double 是否精确取决于整数位宽和 double 的有效精度，不能列为无条件无损转换。
• C 的混合表达式应按整数提升与通常算术转换逐步判断，而不是笼统地把“低类型”转为“高类型”。int -> float 在整数有效位超过 float 的 24 位精度时会舍入，常见 32 位 int -> double 则可精确容纳。
• double -> float 可能舍入、上溢或下溢；float/double -> int 先截去小数部分（趋向 0），若截断后的值仍超出目标整数范围，C 语言层面属于未定义行为，不能简单当作普通回绕。

相关知识

• 科目导航：计算机组成原理导航
• 阅读顺序：上一篇：数制与编码 · 下一篇：运算方法和运算电路

2.4 本节复盘

• 尾数决定精度、阶码决定范围；IEEE 规格化数用隐藏首位 1 扩展有效精度。
• 单精度公式为 $(-1)^S\times1.f\times2^{e-127}$，双精度偏置为 1023；全零/全一阶码有专门语义。
• 浮点加减必须依次对阶、尾数运算、规格化、舍入；小阶码向大阶码对齐，右移低位需保留舍入信息。
• 结果是否真正溢出取决于阶码；尾数溢出可经右规修正。大范围不代表大整数一定能精确表示。