Lecture 28：散列查找

散列查找不通过比较树或有序位置逐层缩小范围，而是先用散列函数把关键字映射到地址。理想查找近似 $O(1)$。当整个关键字域大于有限地址域时，映射整体上必然存在碰撞；但某个具体插入集合仍可能恰好没有冲突。构造函数、控制装填因子、选对冲突处理方法才是题目的重点。

28.1 散列表基础

28.1.1 散列函数与冲突

定义：#散列表 #散列函数

描述：散列表（Hash Table）按散列函数 $H$ 将关键字映射到表中地址：$\text{Addr}=H(\text{key})$。通过地址直接访问记录的查找方式称为散列查找。

$$ \text{Addr}=H(\text{key}) $$

• 理想情况下，计算地址后一次访问就能找到记录，查找、插入和删除的期望时间可接近 $O(1)$。
• 关键字取值空间通常远大于表地址空间，$H$ 在整个关键字域上不可能一一映射，因此必然存在某些关键字对发生碰撞；对当前实际插入的有限关键字集合，冲突并非每次都必然出现。
• 不同关键字映射到同一初始散列地址时，这些关键字互称为同义词。
• $O(1)$ 是散列均匀且装填因子受控时的期望量级，不是无条件最坏界；大量关键字集中到同一链或同一探测簇时，单次操作最坏可退化为 $O(n)$。

定义：#装填因子

描述：装填因子 $\alpha$ 表示散列表已存记录数与表长之比：

$$ \alpha=\frac{n}{m} $$

• $n$ 为表中记录数，$m$ 为散列表长度。
• $\alpha$ 越大，地址拥挤、冲突概率和平均探测长度通常越大。
• 拉链法中 $\alpha$ 可以大于 $1$；开放定址法必须有空位才可继续插入，通常要求 $\alpha<1$。

28.1.2 好的散列函数

• 散列函数只能减少冲突，不能保证消灭冲突；题目中声称“完全不会冲突”时，需检查关键字范围和地址空间是否确能一一对应。
• 插入、查找、删除必须使用同一个 $H$ 和同一种冲突处理规则，否则无法沿正确位置或探测序列定位记录。

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28.2 常用散列函数构造

28.2.1 除留余数法

定义：#除留余数法

$$ H(\text{key})=\text{key}\bmod p $$

• $p$ 应取不大于表长 $m$ 且尽量接近 $m$ 的质数（素数）。例如 $m=15$ 时可取 $p=13$。
• 质数取模通常能避免关键字分布规律与表长存在不良公因数，从而改善均匀性。
• 地址空间以 $0\sim m-1$ 为准；$p<m$ 时，部分地址可能不由初始散列函数直接产生，但开放定址的后续探测仍可能访问它们。
• 教材补充：若允许负关键字，需注意某些语言的 % 会得到负余数；作为数组地址时应归一化为 ((key % p) + p) % p，保证结果落在 $0\sim p-1$。

28.2.2 直接定址法

定义：#直接定址法

$$ H(\text{key})=\text{key} \quad\text{或}\quad H(\text{key})=a\times\text{key}+b $$

• 若关键字本身连续或近似连续，直接定址计算快且可避免冲突。
• 若关键字稀疏，例如学号跨度很大而记录很少，会产生大量空位，空间利用率低。
• “不会冲突”要求该线性映射在实际关键字集合上是一一映射，且结果全部落入合法地址范围；若 $a=0$、结果被再次取模或超界截断，仍可能冲突，不能只见到 $a\times key+b$ 就直接判无冲突。

28.2.3 数字分析法与平方取中法

数字分析法：

• 观察已知关键字各数位的分布，选取分布较均匀的若干位组成地址。
• 适合关键字集合已知、各位分布差异明显的场景，例如号码、编码类关键字。
• 不能机械取“最后几位”；若最后几位集中或有固定前后缀，冲突反而会增多。

平方取中法：

• 先求关键字平方，再取中间若干位作为地址。
• 平方结果的中间位受原关键字多个数位共同影响，适合各位都不够均匀、又不易直接挑选有效位的情况。
• 取几位仍由表长决定，结果必须映射到合法地址范围。

图中不同车型号平方后，中间若干位同时受原关键字多位影响；实际取几位由地址空间大小决定，不能固定照抄图中的位数。

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28.3 拉链法

28.3.1 结构与操作

定义：#拉链法 #链地址法

描述：为散列表的每个地址建立一个链表，将初始地址相同的所有同义词链接在该链表中。

table[i] -> 记录1 -> 记录2 -> ... -> NULL

插入、查找、删除：

1. 计算初始地址 $i=H(key)$。
2. 插入时把新记录接入 table[i] 对应链表（头插或尾插都可以，但顺序会影响具体查找长度）。
3. 查找时仅在该链表中顺序比较关键字；链表结束仍未命中则失败。
4. 删除时在链表中找到目标后修改前驱指针或表头指针即可。

原 PDF 的删除图例中，$H(key)=key\bmod13$：桶 1 的链上可删除 $27$，桶 7 可删除 $20$；$66\bmod13=1$，但桶 1 链中没有 $66$，查找失败，因此也不能删除 $66$。删除一个结点不影响同桶其余结点的可查找性。

以 $m=13,H(key)=key\bmod13$ 为例，依次插入 $19,14,23,1,68,20$；若采用头插法，地址 $1$ 的链为 $1\to14$，地址 $3$ 存 $68$，地址 $6$ 存 $19$，地址 $7$ 存 $20$，地址 $10$ 存 $23$。

• 表头为空时，查找可立即失败。
• 链表长度就是该地址的冲突程度；若散列均匀，平均链长约为 $\alpha$。
• 在均匀散列的常见分析下，拉链法的期望查找代价为 $O(1+\alpha)$。

查找长度口径：

• 408 题通常统计关键字比较次数；是否把链表末尾的空指针比较计入，以题目说明为准。
• 不能把“计算散列地址”自动算成一次关键字比较，除非题目明确要求统计函数计算或访问次数。

图中查找 $66$，初始地址为 $66\bmod13=1$，依次比较 $79,27,1,14$ 后失败；按“只计关键字比较”口径，失败查找长度为 $4$。

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28.4 开放定址法

28.4.1 通用探测公式

定义：#开放定址法

描述：发生冲突时，不另建链表，而是按约定探测序列在散列表的其他单元中寻找空位置。表内任一地址都可能存放来自其他初始地址的记录。

$$ H_i=(H(\text{key})+d_i)\bmod m $$

• $H(\text{key})$ 是初始散列地址，$d_i$ 是第 $i$ 次探测的偏移量，$m$ 是表长。
• 插入和查找都必须按完全相同的探测序列进行：查找碰到空单元才可判定失败；碰到其他关键字只说明继续探测。
• 开放定址法记录都在表数组内，装填因子升高时探测长度会明显变大。

28.4.2 四种探测方法

线性探测法：

• 连续同义词会依次占据相邻位置，后来即使初始地址不同的关键字也可能被挤入这一段，称为一次聚集（primary clustering）。
• 优点是规则直观；缺点是聚集会让成功和失败查找都变慢。

例如 $m=13,H(key)=key\bmod13$，插入 $1$ 时依次访问地址 $1,2,3,4$，前三处已被 $14,2,15$ 占用，最终存入地址 $4$。

平方探测的覆盖边界：

• 对 $d_i=0,1^2,-1^2,2^2,-2^2,\ldots$，若 $m$ 是形如 $4j+3$ 的质数，可以覆盖全部地址；若 $m$ 是形如 $4j+1$ 的质数，只会得到约一半的不同地址。
• 教材常说“至少能探测一半”时，隐含了表长取合适质数等条件；对于任意合数表长，这个结论并非无条件成立。
• 图中插入 $1$ 时从地址 $1$ 出发，依次按 $+1^2,-1^2,+2^2$ 访问 $2,0,5$，最终落在地址 $5$。

双散列法的覆盖条件：

• 若 $\gcd(H_2(key),m)=1$，探测步长与表长互质，才能遍历全部 $m$ 个地址。
• “双散列一定能访问全表”是错误的；需检查步长和 $m$ 的最大公因数。
• 原稿示例采用 $H_2(key)=m-(key\bmod m)$。它对图中的 $m=13,key=1$ 给出步长 $12$，确实与 $13$ 互质；但若 $key\bmod m=0$，会得到步长 $m\equiv0\pmod m$，探测将停在原地址，因此这个公式并非对所有关键字都安全。
• 更稳妥的常见设计是取小于 $m$ 的质数 $R$，令 $H_2(key)=R-(key\bmod R)$，并逐题验证 $\gcd(H_2(key),m)=1$；当 $m$ 为质数时，也可令 $H_2(key)=1+(key\bmod(m-1))$。

图中 $m=13,key=1,H_2=12$，探测地址依次为 $1,0,12,11$，最终插入地址 $11$。

伪随机探测法：

• 所谓“随机”必须由可重复的伪随机偏移序列给出，插入和查找才能重现同一路径；覆盖能力仍取决于序列在模 $m$ 后产生多少个不同地址。
• 图中偏移序列从 $0,5,3,\ldots$ 开始，插入 $1$ 时先查地址 $1$，再查 $6$，最后在地址 $4$ 成功插入。
• 原 PDF 第 9 页文字把序列写为 $0,3,5,11$，但同页图和算式依次使用 $+5$、$+3$；图示结果 $1\to6\to4$ 只与 $0,5,3,11$ 相符。遇到这种原稿内部不一致，应按题目实际给定的序列逐项计算。

28.4.3 查找长度与 ASL 手算

• 成功查找长度：对每个已存关键字，从它自己的初始地址开始，按规定探测序列重放，直到命中；访问了几个表项，就记几次比较。不能简单用“最终地址减初始地址”。
• 失败查找长度：从题目指定的每个初始地址开始探测，直到首次遇到“从未使用”的空单元；墓碑标记不能终止失败查找。若探测序列先重复，则说明该序列覆盖范围已耗尽。
• 成功 ASL 的分母通常是表中关键字数；失败 ASL 的分母可能是题目指定的若干初始地址数或散列函数值域大小，必须按题干口径。
• 线性探测可以把连续被占用区间视为聚集簇辅助计数，但平方探测、双散列和伪随机探测必须逐个关键字重放，不能沿数组连续数格。

28.4.4 删除不能直接清空

定义：#删除标记 #墓碑标记

描述：开放定址法删除记录时，应把该位置标记为“已删除”，而不能立刻改成“从未使用的空单元”。

原因是：后续冲突记录可能正是沿探测序列越过该位置存入的。若直接清空，查找在这里提前停止，会误判后面的记录不存在。

正确处理：

• 查找遇到“已删除”标记时继续探测；遇到真正从未使用的空单元才失败。
• 插入可记住第一个已删除位置，但仍应继续按探测序列确认不存在同键记录，再决定是否复用该位置。
• 删除标记过多会使探测变长，实际系统会在合适时机重散列；408 手算题按给定表状态和规则模拟即可。

图中地址 $3$ 已逻辑删除。随后查找 $1$ 时仍须越过该墓碑并继续到地址 $4$；若把地址 $3$ 直接清空，查找会在此提前失败。

题型：#散列插入查找删除

第一部分：解题方法

1. 先写出 $H(key)$，得到初始地址；不要跳过取模过程。
2. 若冲突，严格列出 $d_i$ 和每次 $H_i$，每访问一个单元都检查其状态。
3. 查找仅在命中目标或遇到真正空单元时结束；插入遇到真正空单元即可确定终点，遇到墓碑则先记住候选位置，并继续确认后面不存在同键记录。
4. 删除题标明“删除标记”，不要把开放定址单元直接涂成空白。

第二部分：易错点

• 同义词指初始地址相同的关键字；在线性探测中占到同一连续区的记录不一定互为同义词。
• 拉链法的删除可直接断链；开放定址法的删除必须保留探测链。
• 平方探测、双散列、伪随机法是否能遍历全表取决于参数，不能只凭名称下结论。

相关知识

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28.5 本节复盘

• 散列查找用 $\text{Addr}=H(key)$ 直接定位；整个关键字域到有限地址域的映射无法消除所有潜在碰撞，但某个具体插入集合可以没有实际冲突。
• 装填因子 $\alpha=\frac{n}{m}$ 越大，平均探测或链长通常越大。
• 拉链法把同义词放在同一链表；开放定址法按探测序列找表中空位。
• 开放定址删除采用墓碑标记，确保后续记录的探测路径不断裂。