Lecture 10：矩阵的秩
考研数学学习笔记：Lecture 10：矩阵的秩。保留原始公式、图示与例题。
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10.1 秩的定义
定义： #矩阵的秩
<font color="#ccc1d9">描述：设 A 是 $mn$ 的矩阵，若存在 k 阶子式不为零，且任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k，且若 A 为nn 矩阵，则得到：$$r\left(A_{n\times n}\right)=n\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\Leftrightarrow A\text{可逆}$$
解释
- 子式：
- 子式一定是行列式；
k阶子式：- 当矩阵为 $\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right)$ 时，其
k=2的二阶子式为 $\left|\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right|$ - 其一共有三个二阶子式；
- 意义：若存在 k 阶子式不为零，且任意
k+1阶子式（如果有的话）全为零 - 假设当前为
k=2二阶情况下，此时其二阶子式因为表示行列式->面积； - 当其不为零时，向量之间互相都不能表示
->k 个线性无关向量； - 意义：
r(A)=k - 存在
k个无关向量； - 任意
k+1个向量都相关； - 此时
r(A)=k就是组成矩阵线性无关的向量的个数；
补充：秩的几何含义
- 意义：
- 秩，代表经过
A矩阵的变换后，变换后的空间的维数； - 变换后的基向量张成的空间，就是所有可能的变换结果
->即：变换后的基向量，其所张成的空间的维数； - 举例：
- 当出现
32的矩阵 $A_{32}$ 时，其表示将一个二维的图形映射到三维的空间中；因为 A 有两个基向量，并且这两个基向量现在是三维的[x,y,z]； - 当出现
23的矩阵 $A_{32}$ 时，其表示将一个三维的图形映射到二维的空间中；因为 A 有三个基向量，并且这三个基向量现在是二维的[x,y]基向量；
10.2 求矩阵的秩
方法：求矩阵的秩
- 将
A用初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行数便为A的秩；
方法：求矩阵的秩 - 举例
- 题目：若 $\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\2&0&t&0\\0&-4&5&-2\end{bmatrix}$ 的秩为 2，则求
t - 分析：
- $A\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1&1\\0&-4&t+2&-2\\0&-4&5&-2\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-4&t+2&-2\\0&0&3-t&0\end{matrix}\right)$
- 此时已经是一个行阶梯形矩阵了；
- 并且因为矩阵秩是 2，所以下面的都是 0 行，所以
3-t=0 - 所以
t=3
10.3 有关秩的几个重要式子
概念：设 A 是 m*n 矩阵，B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则：
- （1）${1}0\leqslant r(A)\leqslant\min\{m,n\}($ 由定义 )
- 任何一个矩阵的秩最低为 0，并且
r(a)=0则矩阵一定等于0：A=0 - 并且 $r(A)\leqslant\min\{m,n\}$
<-因为行列式是方的，而矩阵的子式是行列式，所以必须为n*n - （2）${2}r(kA)=r(A)(k\neq0)($ 由定义 )
- （3）$r\left(AB\right)\leqslant\min\left\{r\left(A\right),r\left(B\right)\right\}$
- 矩阵越乘，秩序=越多越的‘‘’’
- （4）$r(A+B)<=r(A)+r(B)$
- （5）$r\left(A^{*}\right)=\begin{cases}n,&r\left(A\right)=n,\\1,&r\left(A\right)=n-1,\\0,&r\left(A\right)<n-1,\end{cases}$
- （6）设 A=
m*n的矩阵，P、Q分别为 m 阶、n 阶的可逆矩阵，则：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) - 在过程当中，所有中间矩阵都是等价的：$r\left(\begin{matrix}E_{r}&0\\0&0\end{matrix}\right)$
- （7）若 $A_{m\times n}B_{m\times s}=O,则r\left(A\right)+r\left(B\right)\leqslant n$；
n为A的列数；- （8）格拉姆矩阵：$r\left(A\right)=r\left(A^{T}\right)=r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$
- $r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$ 一定有解，并且一定是最佳近似解；
- 对于任何一个矩阵，其转置的秩等于其 $r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$；