Lecture 10：矩阵的秩

10.1 秩的定义

定义：矩阵的秩

描述：设 A 是 $mn$ 的矩阵，若存在 k 阶子式不为零，且任意 k+1 阶子式（如果有的话）全为零，则 r(A)=k，且若 A 为 nn 矩阵，则得到：$$r\left(A_{n\times n}\right)=n\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\Leftrightarrow A\text{可逆}$$

解释

子式：
子式一定是行列式；
k 阶子式：
当矩阵为 $\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right)$ 时，其 k=2 的二阶子式为 $\left|\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right|$
其一共有三个二阶子式；
意义：若存在 k 阶子式不为零，且任意 k+1 阶子式（如果有的话）全为零
假设当前为 k=2 二阶情况下，此时其二阶子式因为表示行列式 -> 面积；
当其不为零时，向量之间互相都不能表示 -> k 个线性无关向量；
意义：r(A)=k
存在 k 个无关向量；
任意 k+1 个向量都相关；
此时 r(A)=k 就是组成矩阵线性无关的向量的个数；

补充：秩的几何含义

意义：
秩，代表经过 A 矩阵的变换后，变换后的空间的维数；
变换后的基向量张成的空间，就是所有可能的变换结果 -> 即：变换后的基向量，其所张成的空间的维数；
举例：
当出现 32 的矩阵 $A_{32}$ 时，其表示将一个二维的图形映射到三维的空间中；因为 A 有两个基向量，并且这两个基向量现在是三维的 [x,y,z]；
当出现 23 的矩阵 $A_{32}$ 时，其表示将一个三维的图形映射到二维的空间中；因为 A 有三个基向量，并且这三个基向量现在是二维的 [x,y] 基向量；

10.2 求矩阵的秩

方法：求矩阵的秩

将 A 用初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行数便为 A 的秩；

方法：求矩阵的秩 - 举例

题目：若 $\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\2&0&t&0\\0&-4&5&-2\end{bmatrix}$ 的秩为 2，则求 t
分析：
$A\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1&1\\0&-4&t+2&-2\\0&-4&5&-2\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-4&t+2&-2\\0&0&3-t&0\end{matrix}\right)$
此时已经是一个行阶梯形矩阵了；
并且因为矩阵秩是 2，所以下面的都是 0 行，所以 3-t=0
所以 t=3

10.3 有关秩的几个重要式子

概念：设 A 是 m*n 矩阵，B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则：

（1）$0\leqslant r(A)\leqslant\min\{m,n\}$（由定义）
任何矩阵的秩最低为 0，并且 $r(A)=0$ 当且仅当 $A=O$；
$r(A)\leqslant\min\{m,n\}$，因为矩阵的非零子式阶数不会超过行数或列数；
（2）$r(kA)=r(A)\quad(k\neq0)$（由定义）
（3）$r\left(AB\right)\leqslant\min\left\{r\left(A\right),r\left(B\right)\right\}$
矩阵相乘不会增加秩；
（4）$r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
（5）$r\left(A^{*}\right)=\begin{cases}n,&r\left(A\right)=n,\\1,&r\left(A\right)=n-1,\\0,&r\left(A\right)<n-1,\end{cases}$
（6）设 A= m*n 的矩阵，P、Q 分别为 m 阶、n 阶的可逆矩阵，则：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
在过程当中，所有中间矩阵都是等价的：$r\left(\begin{matrix}E_{r}&0\\0&0\end{matrix}\right)$
（7）若 $A_{m\times n}B_{n\times s}=O$，则 $r\left(A\right)+r\left(B\right)\leqslant n$；
n 为 A 的列数；
（8）格拉姆矩阵：$r\left(A\right)=r\left(A^{T}\right)=r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$
格拉姆矩阵 $A^TA$ 与 $AA^T$ 的秩都等于 $A$ 的秩；
对任意矩阵，都有 $r(A)=r(A^T)$；

10.1 秩的定义

定义： 矩阵的秩

10.2 求矩阵的秩

10.3 有关秩的几个重要式子

定义：矩阵的秩