Lecture 9：等价矩阵

9.1 等价矩阵和矩阵的等价标准型

定义： #等价矩阵

<font color="#ccc1d9">描述： $$\begin{aligned}&\text{设}A,B\text{ 均是}m\times n\text{矩阵,若存在可逆矩阵}P_{mon},Q_{mon},\text{ 使得 }PAQ=B\text{,则称 }A,B\text{ 是等价矩阵,记作}\\&A\cong B.\end{aligned}$$

解释

定义： #矩阵的等价标准型

<font color="#ccc1d9">描述：

1. $A\text{ 是一个 }m\times n\text{ 矩阵,则}A\text{ 等价于形如}\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}\text{的矩阵}(E_r\text{ 中的 }r\text{ 恰是}r(A))\text{,后者称为}A\text{ 的等价标准型}$

2. $\text{等价标准形是唯一的,即若 }r(A)=r\text{,则存在可逆矩阵}P,Q\text{,使得:}PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}$

解释

• 意义：
• 虽然一个 m*n 型的矩阵不能变成标准的单位阵，但是可以通过行变换和列变换、将其变成一个分块的、某个块的单位阵，其他阵则是 0；
• 最简单的形式：$PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}$
• 解释：
• 其中的 r 是 A 矩阵的秩 -> 吧 $E_r$ 扩展到了不同阶时的情况 -> $PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}$ 是等价标准型；
• P：若干次初等行变换；
• Q：若干次初等列变换；
• PAQ=B：化成最简型之前的任意一个过程的状态，最终都会走向 $PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}$；
• 概念：什么是 AB 等价
• 这两个矩阵、最终的归宿是一样的，它们最终都能化成最终的一样的最简标准型 <-> 等价标准型一样；