Lecture 9：等价矩阵
考研数学学习笔记：Lecture 9：等价矩阵。保留原始公式、图示与例题。
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9.1 等价矩阵
定义： 等价矩阵
设 $A,B$ 都是 $m\times n$ 矩阵。若存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使
$$
PAQ=B,
$$
则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。
左乘可逆矩阵对应有限次初等行变换，右乘可逆矩阵对应有限次初等列变换。因此，矩阵等价也可以表述为：一个矩阵能够通过有限次初等行、列变换化为另一个矩阵。
9.2 等价标准形
定义： 矩阵的等价标准形
若 $\operatorname{rank}(A)=r$，则存在可逆矩阵 $P,Q$，使
$$
PAQ=
\begin{bmatrix}
I_r&0\\
0&0
\end{bmatrix}.
$$
右侧矩阵称为 $A$ 的等价标准形，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。零块的具体尺寸由 $A$ 的行数 $m$ 与列数 $n$ 决定。
结论
- 每个 $m\times n$ 矩阵都等价于上述标准形。
- 等价标准形由矩阵的阶数和秩唯一确定。
- 两个同型矩阵等价，当且仅当它们的秩相同：
$$
A\sim B
\iff
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B).
$$
- 矩阵化为等价标准形时，$P$ 记录行变换，$Q$ 记录列变换。