Lecture 6：伴随矩阵

6.1 伴随矩阵的定义

6.1.1 定义

定义： #伴随矩阵的定义

<font color="#ccc1d9">描述：将行列式 $|A|$ 的 $n^2$ 个元素的代数余子式按如下形式排成的矩阵，称为 $A$ 的伴随矩阵, 记作 $A^$：$$A^=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}$$

且有：$$AA^{}=A^{}A=\left|A\right|E$$

解释

• 概念：
• 伴随矩阵的产生，就是来自于点积当中的一行乘一列的积的；
• 从 $A^*=\left(\begin{matrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{matrix}\right)\rightarrow A=\left(\begin{matrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{matrix}\right)$
• 所以：$AA^{*}=\left(\begin{matrix}|A|&0\\0&|A|\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)|A|=E|A|$
• 计算：二阶
• 从 A 矩阵求 $A^*$
• 核心：主对调，副变号
• 举例：$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\rightarrow A^*=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$
• 结论：二阶时 $(A^)^=A$
• 从 $A^*$ 求 $A^{-1}$
• 举例：$\frac{1}{|A|}A^{*}=\frac{1}{ad-bc}(\begin{matrix}a&-b\\-c&a\end{matrix})=A^{-1}$
• 计算：三阶
• 从 A 矩阵求 $A^*$：
• 老老实实算每项代数余子式；
• 从 $A^*$ 求 $A^{-1}$
• $A^{-1}=\frac{1}{A}A^{*}$

6.1.2 伴随矩阵与可逆矩阵

总结：可交换矩阵

• $$\begin{aligned}&A\cdot kE=kE\cdot A\\&AA^{-1}=A^{-1}A=E\\&AA^{}=A^{}A=|A|E\end{aligned}$$

推论：$$A^{*}=|A|A^{-1}$$

• 意义：得到了伴随矩阵与可逆矩阵的关系；

推论：$AA^{}A^{-1}=|A|EA^{-1}\rightarrow A^{}=|A|A^{-1}$

结论：求可逆的一个方法：

• 方法：
• 当 A 可逆时，$A^{*}和A^{-1}$ 只差了一个非零的倍数而已；
• 意义：
• 给了伴随，想到可逆矩阵 -> 即在向量的视角下，伴随矩阵和可逆矩阵只是伸缩的关系 -> 伴随矩阵和可逆矩阵的性质是一致的；

6.2 伴随矩阵的性质与公式

概念：运算总结

• 运算就是四种：行列式、求逆、求转置、求伴随；
• 下面的性质就是这几种性质的互相使用、结合、交换；

性质一：对任意 $n$ 阶方阵 $A$, 都有伴随矩阵 A $^{}$,且有公式: $$AA^{}=A^{}A=\left|A\right|E,\left|A^{}\right|=\left|A\right|^{n-1}$$

性质二：$当|A|\neq0时A^{}=\left|A\right|A^{-1},A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{},A=\left|A\right|\left(A^{*}\right)^{-1};$

• 前提：A 的测度为 0；
• 先求行列式，再求伴随矩阵，再求 $\frac{1}{{|A|}}A^*$

性质三：$(kA)(kA)^{*}=\left|kA\right|E$

性质四：$(A^T)^=(A^)^T$

性质五：$A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{*}=\left|A^{-1}\right|E$

性质六：$A^\left(A^\right)^=\left|A^\right|E$

• 原因：$\left(A^\right)^=|A|^{n-2}A$

性质七：（穿脱原则）$\left(AB\right)^{}=B^{}A^{*}$

补充：关于数乘的交换

• $$\begin{aligned}&|kA|=k^{n}|A|\\&(kA)^{T}=kA^{T}\\&(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\\&(kA)^{}=k^{n-1}A^{}\end{aligned}$$

补充：总结 - 运算的自运算

• $$\begin{aligned}&|A^{-1}|=|A|^{-1}&&(A^{})^{-1}=(A^{-1})^{}\\&(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}&&|A^{}|=|A|^{n-1}\\&|A^{T}|=|A|^{T}\\&(A^{})^{T}=(A^{T})^{*}\end{aligned}$$

补充：总结 - 运算的叠加

• $$\begin{aligned}&||A||=|A|\\&(A^{T})^{T}=A\\&(A^{-1})^{-1}=A\\&(A^{})^{}=|A|^{n-2}A\end{aligned}$$

补充：穿脱原则

• $$\begin{aligned}&|AB|=|B||A|\\&(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\\&(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\&(AB)^{}=B^{}A^{*}\end{aligned}$$
• 注意：$\left(A+B\right)^{}\neq A^{}+B^{*}$
• 其他：$\begin{aligned}&|A+B|\neq|A|+|B|\\&(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}\\&(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\end{aligned}$

6.3 用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵

定理： #伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： $$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*}=\frac{1}{\left|A\right|}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}$$

解释

• 步骤：
• 第一步：先求当前矩阵的行列式的值，看起是否等于 0，如果等于零就无法继续往下计算了；
• 第二步：求 A 的伴随；
• 第三步：求 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$
• 注意：
• $注意A_{ij}的位置及正、负号$

6.4 求伴随矩阵的方法

方法一：定义法。先求 $A_{ij}$ ，再拼成 $A^*$

方法二：用公式；若 A 可逆，则 $A^*=|A|A^{-1}$

• 遇到和伴随矩阵相关的计算时，先考虑一下有没有公式、化简一下，对公式进行一些运算，然后再开始计算；