Lecture 49：对坐标的曲线积分

58.1 对坐标的曲线积分

解释：方法选择

封闭区间：
格林公式
非封闭区间：
判断：看是否与路径无关 -> 利用偏导数是否相等
是与路径无关
改换路径
利用原函数
不是与路径无关
直接算方便 -> 直接算
直接算不方便 -> 补线格林

58.1.1 基本概念

##### 定义： #第二类曲线积分

描述： $$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}[P(\xi_{i},\eta_{i})\Delta x_{i}+Q(\xi_{i},\eta_{i})\Delta y_{i}]$$

解释

把曲线任意划分成 n 个小端，每一个有方向的小弧段在 x 轴上的投影乘以

性质：曲线有方向，改变方向、变符号

$$\int_{L(AB)}Pdx+Qdy=-\int_{L(BA)}Pdx+Qdy$$

58.2 计算方法

58.2.1 方法一：直接法

定理： #第二类曲线积分的计算

描述：当前参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，从起点 A 到终点 B 中，t 从 α 到 β：$$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{\alpha}^{\beta}[p(\psi(t),\psi(t))\psi(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi^{\prime}(t)]dt$$

解释

概念：
写出参数方程、带进去，化成定积分的计算；
注意：
上下限是从起点的参数 -> 终点的参数，而不是按照大小而来的；

58.2.2 方法二：格林公式

引入

在一个平面闭区域 D 的二重积分上，是否可以只求边界曲线 L 上值得相差，而不计算曲面上的所有点的值；
这个作用由格林公式达成；

定义： #单连通区域

描述：假设在 D 平面区域内，D 内任意一闭曲线围成的部分都居于 D；否则则称之为复连通区域；

解释

无洞无眼；

定理： #格林公式

描述：闭区域 D 上由分段光滑的曲线 L 围成的，$P(x,y)、Q(x,y)$ 在 D 上有一阶连续偏导；则：

$$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma =\oint_{L}Pdx+Qdy$$

解释

注意：
格林公式使用的范围 -> 必须是在闭区域上：即曲线是封闭的；
正负方向是相对于当前区域而言的；
其中：
L 是区域 D 的正方向的边界曲线；

补充：补线用格林

因为格林公式只能使用在封闭区域，因此当需要在非封闭区域使用时，可以进行补线，将非封闭区域补线为封闭区域，然后对封闭区域使用格林公式后再减去补线的部分，得到结果；

定理： #利用线积分与路径无关

描述：

$\text{i)判定:}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} (区域D单连通))$

$ii)计算:$

(a)改换路径：先改成更简单的（一般是沿着坐标轴的）的路径

(b)利用原函数：$\int_{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{1})$

求原函数的方法：1. 偏积分；2. 凑微分；

28.3 两类线积分的联系

定理： #两类线积分的联系

描述： $$\int_{L}P\mathbf{d}x+Q\mathbf{d}y=\int_{L}(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\mathbf{d}s$$

28.4 计算方法：空间

28.4.1 直接法

定理： #第二类曲面积分的空间计算

描述： $设L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),\quad t\in[\alpha,\beta]$

$$\int_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\=\int_{a}^{\beta}\{P[x(t),y(t),z(t)]x^{\prime}(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y^{\prime}(t)+\\R[x(t),y(t),z(t)]z^{\prime}(t)\}dt$$

举例：$\text{设 }L\text{ 是柱面 }x^2+y^2=1\text{ 与平面 }y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分\int_{L}z\operatorname{d}x+y\operatorname{d}z$

设 $x=\cos t,y=\sin t,z=-\sin t$，代入得到定积分：$I=\int_{0}^{2x}(\sin^{2}t-\sin t\cos t)dt$

28.4.2 斯罗克斯公式

定理： #斯托克斯公式

描述： $$\int_{L}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)dz=$$

解释

平面时：选第一种
其他时候：选第二种