Lecture 48：对弧长的曲线积分

57.1 对弧长的曲线积分

57.1.1 基本概念

定义： #平面上对弧长的线积分

描述： $$\int_{L}f(x,y)ds=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta s_{i}$$

解释

一个二元函数，沿着一个二维的曲线段的积分；
把曲线分成 n 个小端，将曲线的函数值乘以小弧段的长度，将每一段求和、取极限，如果这个极限存在，则线积分存在；

定理： #线积分的性质

描述： $$\int_{L(AB)}f(x,y)ds=\int_{L(BA)}f(x,y)ds$$

解释

含义：线积分和路径的方向无关；

推论

1. $\int_{L_{1}+L_{2}}f(x,y)ds=\int_{L_{1}}f(x,y)ds+\int_{L_{2}}f(x,y)ds$；
2. $\int_{L}[df(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_{L}f(x,y)ds+\beta\int_{L}g(x,y)ds$；
3. $\int_{C}f(x,y)ds=\int_{C_{1}}f(x,y)ds+\int_{C_{2}}f(x,y)ds$；
4. $f(x,y)<=g(x,y) ; \int_{L}f(x,y)ds\leq\int_{L}g(x,y)ds$

57.2 曲线积分的计算

57.2.1 基本法

定理： #第一类曲线积分的计算：直接法

描述：假设 L 的参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),&\end{cases}(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)$，则： $$\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\mathrm{d}t$$

解释

注意：
ds 是曲线的弧微分；
上下限是弧长从小到大；

定理： #第一类曲线积分的计算：直角方程

描述： $\text{若 }C:y=y(x),\quad a\leq x\leq b$，则：

$$\int_{}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)}\mathrm{d}x$$

解释

相当于把 x 看作为参数；

定理： #第一类曲线积分的计算：极坐标方程

描述： $\text{若 }C:\rho=\rho (\theta)\quad\alpha\leq\theta\leq\beta$，则：

$$\int_{C}f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)\sqrt{\rho^{2}(\theta)+\rho^{\prime2}(\theta)}d\theta $$

解释

57.2.2 奇偶性与对称性

定理： #积分曲线的奇偶性

描述： $$\int_{C}f(x,y)\mathrm{d}s=\begin{cases}2\int_{C_{x>4}}f(x,y)\mathrm{d}s,&f(-x,y)=f(x,y)\\0,&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$$

解释

定理： #对称性

描述：一般情况：$\int_{c}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{c}f(y,x)\mathrm{d}s$

特别：$\int_Cf(x)ds=\int_Cf(y)ds$