Lecture 55：曲面与空间曲线
考研数学学习笔记：Lecture 55：曲面与空间曲线。保留原始公式、图示与例题。
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55.1 曲面与空间曲线
定义： #空间曲面
<font color="#ccc1d9">描述： $$F(x,y,z)=0\quad\text{或 }z=f(x,y)$$
举例：$x+y+z=1$
- 图示：
定义： #空间曲线
<font color="#ccc1d9">描述： $$\text{i)参数式:}\quad\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{ii)一般式:}\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$$
补充：为什么空间曲面只要一个方程确定，而空间曲线要两个
- 核心：
- 一个方程减少一个自由度；
- 曲面有两个自由度，而曲线只有一个；
- 因此空间曲线的一般式是关于
xyz的两个方程；
55.2 常见曲面
曲面一：旋转面 -> 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
- 设 $L$ 是 $yoz$ 平面上一条曲线，其方程是：$\begin{cases}f({y},z)=0\\x=0\end{cases}$
- （1）$L\text{ 绕 }(y)\text{轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0.$
- （2）$L绕 z 轴旋转所得旋转面方程为：$
曲面二：柱面 -> 平行于定直线并沿定曲线移动的直线 L 形成的轨迹;
- $准线为\Gamma:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0$
- $准线为\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0$
- 图示：锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱面 $x^{2}+y^{2}\le2x$ 的区域上：
- 锥面：
- 柱面：
- 三维：
曲面三：二次曲面
- $$\text{椭圆锥面 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2;$$
- $$\text{椭球面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;$$
- (3) 单叶双曲面 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$$
- (4) 双叶双曲面 $$\frac {x^{2}}{a^{2}}- \frac {y^{2}}{b^{2}}- \frac {z^{2}}{c^{2}}= 1$$
- (5) 椭圆抛物面 $$\text{椭圆抛物面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;$$
曲面四：空间曲面投影
- $q曲线\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上的投影曲线方程为：\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$