Lecture 47：三重积分

46.1 三重积分

46.1.1 基础概念

定义： #三重积分

<font color="#ccc1d9">描述： $\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}\mathbf{v}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k},\eta_{k},\xi_{k})\Delta\nu_{k}$

解释

• 概念：
• 一个三元函数，在一个空间体 $\Omega$ 当中的积分；
• $\Delta\nu_{k}$ 为第 k 个小区域的几何体的体积；
• 核心：
• 三重积分部分的核心，就是三重积分的计算；
• 而三重积分计算的核心，就是将其转化为定积分或者二重积分的计算；

46.1.2 基本计算方法

定理： #三重积分的直坐标计算

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：

1. 先一后二：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{dv}=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz$$

2. 先二后一：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}\mathbf{v}=\int_{c_{1}}^{c_{2}}dz\iint_{D_{c}}f(x,y,z)dxdy$$

解释

• 先一后二：
• 解释：
• 先对 z 做定积分；
• 在对 xy 做二重积分；
• 定限方法：
• 做当前集合体在 xy 轴上的投影面 $D_{xy}$ ，在此投影面上往上做一跟射线、穿过几何体；
• 穿到的下面的部分为积分下限 $z=z_1(x,y)$，穿到的上面的部分为积分上限 $z=z_2(x,y)$；
• 先二后一：
• 解释：
• 先对 xy 做二重积分；
• 在对 z 做定积分；
• 定限方法：
• 将几何体投影到 z 轴上，z 的上下限就是其在 z 轴投影上的最大值和最小值；

46.2 柱坐标

46.2.1 基础概念

定义： #柱坐标

<font color="#ccc1d9">描述： $$\begin{cases}x=r\cos\theta,&\quad0\leq r<+\infty,\\y=r\sin\theta,&\quad0\leq\theta\leq2\pi,\\z=z,&\quad-\infty<z<+\infty.\end{cases}$$

解释

• 概念：
• r：点到 z 轴的距离；
• z：z 轴上的高度；
• 角度：限制当前线段的角度；
• 图示：
• 

46.2.2 柱坐标计算方法

定理： #柱坐标计算方法

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：

体积微元：$dv=\rho d\rho d\theta dz$

计算：$$\iiint_\Omega f(x,y,z)d\nu=\iiint_{\Omega}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)r\operatorname{d}r\operatorname{d}\theta\operatorname{d}z$$

补充：柱坐标适用范围

• 函数角度：
• 如果被积函数可以被写成 $g(x)*f(\sqrt{x^2+y^2})$ -> 适合用柱坐标；
• 区域角度：
• 中心轴为 z 轴这样的柱体、偏心柱体、锥体 -> 适合用柱坐标；

46.3 球坐标计算三重积分

46.3.1 基本概念

定义： #球坐标

<font color="#ccc1d9">描述： $$\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta,&\quad0\leq r<+\infty,\\y=r\sin\varphi\sin\theta,&\quad0\leq\varphi\leq\pi,\\z=r\cos\varphi,&\quad0\leq\theta\leq2\pi.\end{cases}$$

解释

• 图示：
• 

46.3.2 球坐标计算方法

定理： #球坐标计算方法

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：

体积微元：$dv=r^{2}\sin\varphi drd\varphi d\theta$

计算：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)d\nu =\iiint_\Omega f (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) r^2\sin\varphi\operatorname{d}r\operatorname{d}\varphi\operatorname{d}\theta$$

补充：球坐标适用范围

• 函数角度：
• 如果被积函数可以被写成 $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ -> 适合用球坐标；
• 区域角度：
• 中心在原点的球体、球面、半球体、曲顶锥体 -> 适合用球坐标；

46.4 三重积分的性质

46.4.1 奇偶性

定理： #三重积分的奇偶性计算

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述： $$\text{若积分域 }\Omega\text{ 关于 }xoy\text{ 坐标面对称}，则\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\begin{cases}2\iiint f(x,y,z)\mathrm{d}V&f(x,y,-z)=f(x,y,z)\\0&f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\end{cases}$$

解释

46.4.2 对称性

定理： #三重积分的对称性

<font color="#8db3e2"><font color="#c6d9f0">描述：

46.5 常考题型

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题型： #三重积分的计算

PART 1：解题方法

PART 2：典型例题

PART 3：知识点复盘

知识点：适合先二后一的情况

• 1. 被积函数仅仅是关于 z 的一元函数；
• 2. 用 z=z 去截几何体的面积时，这个面积的公式好求（比如 $x^2+y^2<1-z^2$）；