Lecture 40：多元复合函数的求导法则

本章内容

（1）多元函数的基本概念
（2）多元函数微分法
（3）多元函数的极值与最值

本节内容概要

（一）多元函数的极限
（二）多元函数连续性
（三）偏导数
（四）全微分
（五）连续、可微、可导关系

本节常考题型

讨论连续性、可导性、可微性

41.1 多元函数的极限

41.1.1 多元函数极限的概念

定义： #多元函数的极限

描述： $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$$

解释

1. 多元函数极限的趋向性：
一元里面，自变量只有一个，因此趋向于目标点、趋向的方式比较简单，只能沿着 X 轴；
但在二元里面，自变量有两个，但 $(x,y)$ -> $(x_0,y_0)$ 是以任意方式
必须保证在任何方向下，函数值都等于极限值（类似于一元极限中左右极限相等），此时才可以认为此重极限存在；
2. 五大性质
（1）局部有界性；
（2）保号性；
（3）有理运算法则；
（4）极限与无穷小的关系；
（5）夹逼性；
注意：没有洛必达；

41.1.2 基本方法

例题：求极限的值

题目：求 $$\lim_{x\to0，y\to0}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$
分析
此极限是 0 比 0 型，但是不能使用洛必达；
分母是二次，分子是三次
对 A/B 类型：
如果 A 的方次 > B 的方次，一般是 0；
如果 A 的方次 < B 的方次，一般是无穷；
如果 A 的方次 = B 的方次，一般是不存在；
对此，初步判断次函数极限为 0；
一元时：对 x 取绝对值，然后放缩 -> 夹逼定理；
解析
方法一：
$0\leq|\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}|\leq|x|\rightarrow0$
所以 $\lim_{x\to0，y\to0}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0$
方法二：
可以将分子的 x 提出来，x -> 0；
并且分子提出来后、剩下的其他部分根据有界性可知不大于 1，因此整个函数的极限值为 0；

例题：证极限不存在

题目：求 $$\lim_{x\to0，y\to0}\frac{xy^{}}{x^{2}+y^{2}}$$ 证明其极限不存在
分析
分子是 2 次，分母是 2 次；
如果有两个不同的路径点、求出来的极限不同，则此极限不存在；
方法：将 y 限制在一条直线上；
解析
$$\lim_{x\to0，y=kx}\frac{xy^{}}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{x\to0，y\to0}\frac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\frac{k}{1+k^2}$$
因为 k 是直线的斜率，k 不是一个定值。当 k 取不同的斜率时，极限的函数值不一样；
因此此极限不存在；

41.2 多元函数的连续性

两个概念

1. 概念；
2. 间断点；
3. 性质；

定义： #多元函数连续的概念

描述： $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

定理： #多元连续函数的性质

描述：

性质 1：多元连续函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍为连续函数；

性质 2：多元连续函数的复合函数也是连续函数；

性质 3：多元初等函数在其定义区域内连续；

性质 4：最大值定理 -> 有界闭区域 D 上的连续函数在区域 D 上必能取得最大值与最小值；

性质 5：有界闭区域 D 上的连续函数在区域 D 上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值；

41.3 偏导数

41.3.1 偏导数基础概念

定义： #偏导数

描述：如果是对 $z=f(x,y)$ 函数，会有两个偏导数的定义：

1. 对 X 的偏导数：对 X 偏导时，Y 固定在 $y_0$ 处（对 x 没有任何影响），$x在x。处有\Delta x$ 的增量，此时只有 x 一个变量，此时称：

$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$$ 为对 X 的偏导数；

记作：

$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0})},\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0})},z_{_z}(x_{0},y_{0})或$ $f_{x}(x_{0},y_{0})$

2. 对 Y 的偏导数：和 X 同理，

$$lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}$$

记为：

$\left.\text{}\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})},z_{y}(x_{0},y_{0})\text{或}f_{y}(x_{0},y_{0}).$

解释

X 的偏导数：
解释：
本质上就是对 x 的一元函数导数，表示沿着 X 轴方向上、函数的变化率；
其他形式：$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$
Y 的偏导数：
解释：
本质上就是对 y 的一元函数导数，表示沿着 Y 轴方向上、函数的变化率；
其他形式：
$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$
总结：本质上就是一元函数的导数；

方法：如何求对 x 或者 y 的偏导

当 $z=f(x,y)$ 时，把 y 或者 x 视为常数，直接对 x 或者 y 求导；
例：$z=x^{2}+3xy+y^{2}在(1.2)处$ 的偏导数；
第一步：求出偏导后的函数
对 x 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y$
对 y 求偏导：$$\frac{\partial z}{\partial y}=3x+2y$$
第二步：将 $(1.2)$ 点带入对 x 求偏导或者对 y 求偏导后的函数： 2 x+3 y 或者 3 x+2 y，即可得到结果

41.3.2 判断偏导数是否存在

题型：判断偏导数是否存在

方法一：定义法
利用偏导数的定义，将函数值分别带入 Y 的偏导和 X 的偏导，求代入后的函数的极限值，计算其极限是否存在；
方法二：本质法
因为偏导数本质上是一元函数的导数；
所以可以直接将偏导数的 X 或 Y 当中一个数值带进去（值确定的那一个）
比如求对 X 的偏导数，此时可以直接把 Y 的值带进去，求对 X 的一元函数导数极限；

41.3.3 偏导数的几何意义

定义： #二元函数偏导数的几何意义

描述：曲面 $Z=f(x,y)$

1. $f_x(x_0,y_0)$ 代表的是在 $y=f(x)$ 这一直线上，$x_0$ 点对 $y=f(x)$ 的切线；

2. $f_y(x_0,y_0)$ 代表的是在 $x=f(y)$ 这一直线上，$x_0$ 点对 $x=f(y)$ 的切线；

41.3.4 高阶偏导数

定义： #高阶偏导数

描述：

$$\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}=f_{xx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}^{\prime\prime}$$

$$\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=f_{yy}^{\prime\prime}$$

解释

混合偏导数：
$f_{xy}^{\prime\prime}$
$f_{yx}^{\prime\prime}$

定理： #高阶偏导数定理

描述：如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，则在该区域内：

$$\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$$

解释

先对 x 或者先对 y 时，极限值一样；

41.4 多元函数的全微分

定义： #多元函数的全微分

描述：若 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分；

多元的微分：$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$

定理： #可微的必要条件

描述： $\begin{aligned}&\text{如果}z=f(x,y)\text{ 在点}\left(x_0,y_0\right)\text{处可微},\text{则在点}\left(x_0,y_0\right)\text{处}\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\text{ 必定存在,即以下式子存在}\end{aligned}$：$$\mathbf{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{d}y$$

解释

可微分 -> 可导；
可导 -x> 可微分；
一阶偏导数连续 -> 可微分；
可微分 -x> 一阶偏导数连续；

方法：用定义判断可微分性（充要条件）

（1）$$f_{x}(x_{0},y_{0})与 f_{y}(x_{0},y_{0})\text{ 是否都存在}$$
如果有一个不存在，则肯定不可微分；
如果两个都存在，则进入到（2）进行判断；
（2）$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0,}y_{0})\Delta y]}{\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}}是否为零$$
解释：
根据 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ 将 $f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ 放到左边去；
看 $\Delta z-(f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0))$ 是否和 $o(\rho)$ 相除为 0；
结论：
以上极限存在、并且为 0 -> 可微；
如果不存在或不为 0 -> 不可微；
含义：
以上公式的含义 -> 因为一点的微分 $dz$ 其等于 $A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，因此当这一点微分存在时，${dz-A\Delta x+B\Delta y}除以{o(\rho)}$ 是否为零，可以直到其微分是否存在；

定理： #可微的充分条件

描述：如果 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微；

解释

概念：
两个偏导数在一点连续 -> 作为二元函数在 x、y 分别趋向 $x_0、y_0$ 时偏导数存在；
结论：
两个偏导数连续 -> 可微分；

41.5 连续、可偏导、可微之间关系

一元函数

图示：

多元函数

1. 和一元相同点：
（1）连续 -x> 可导；
（2）可微 -> 可偏导；
（3）可微 -> 连续；
（4）连续 -x> 可导；
2. 和一元不同点：
原因：
不一样的地方，都是可偏导导致出来的，为什么多元不行？
可偏导实际上是 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 的偏导数；
$f_x(x_0,y_0)$ -> $f(x,y_0)$ 在 $y=y_0$ 这一条线上，函数发生变化，只和这一条线上的函数值有关；
$f_y(x_0,y_0)$ -> $f(x_0,y)$ 在 $x=x_0$ 这一条线上，函数发生变化，只和这一条线上的函数值有关；
而连续 -> 其是一个重极限，因为它要求、函数在任意方向的变化都是连续的，而偏导数只能决定在某一条线上、当前的导数是否存在，因此不能说明任意方向上是否连续；
一元的可导为什么可以：因为一元当中，可导表示了这个区域内都是可导的，因此可导 -> 可微且连续；
概念：
（1）可偏导 -x> 连续；
（2）可偏导 -x> 可微；
3. 和一元相比新的点：
（1）偏导数连续 -> 可微；
（2）可微 -x> 偏导数连续；
图示：
和

41.5 常考题型

题型： #连续、偏导数、全微分及其之间关系

PART 1：解题方法

判断方法

判断是否可微：
1. 定义法：
第一步：判断 $f_{x}(x_{0},y_{0})与 f_{y}(x_{0},y_{0})\text{ 是否都存在}$；
第二步：使用以下定义，判断其重极限是否存在；
公式： $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0,}y_{0})\Delta y]}{\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}}是否为零$$
判断是否可导：
1. 定义法：分别求对 x 的偏导、y 的偏导，使用偏导数定义、分析偏导数对应的一元函数导数是否存在；
公式（X 偏导）：$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$$
2. 先带后求：
判断是否连续：
1. 定义法：
（1）证明连续：在某点的函数值是否等于其函数的极限值，如果等于、则连续；
（2）证明不连续：同；
2. 特殊 y 值法：
用某一固定的 y 的函数带入函数当中，经常用于证明不连续；
常用形式：
$y=kx$
$y=0$
判断偏导数是否连续：
注意：
多元函数连续 ≠ 多元函数偏导数连续；
偏导数是否连续，是指的 对 X 或对 Y 的偏导数 这个导函数是否连续；
1. 定义法：利用对 X 或对 Y 的偏导数函数定义求解：
如果以下公式不成立，则偏导数不连续；
公式（对 X 的偏导数函数）：$$\lim_{x\to0,y\to0}f_{x}(x,y)=f_{x}(0,0)$$

PART 2：典型例题

例题：二元函数 $$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 在点 $(0,0)$ 处连续、偏导数是否存在？

分析
判断是否连续 -> 这一点的函数值是否等于函数的极限值；
解析
判断连续：
对 $\lim_{x\to0,y\to0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ 用 $y=kx$ 带进去，得到证明其极限不存在 -> 不连续；
判断偏导数：
求 x 的偏导：$f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}$ -> 偏导数为 0；
求 y 的偏导：方法和对 x 求类似，得到的结果也是偏导数为 0；
所以偏导数存在；