Lecture 17：导数求导法则

1.1 和差积商求导法则

有理运算法则

设 $u(x),\nu(x)$ 都可导，则

• $(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$
• $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$
• $(\frac\mu\nu)^{\prime}=\frac{\mu^{\prime}\nu-\nu^{\prime}\mu}{\nu^2}\quad(\nu\neq0)$

1.2 反函数的求导法则

定理 2：

设区间 $I$ 上严格单调且连续的函数 $x=f(y)$ 在 $y$ 处可导，且 $f^{\prime}(y)\neq0$,则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在对应点可导。

• 则：$(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(y)}\quad\frac{dy}{dx}=\frac1{dx}$
• 含义
• 函数和反函数是两个函数，但是是同一条曲线；
• 因此当函数连续且单调时，可以知其反函数也同样可导；

例题：$\text{求}\quad y=\arcsin\quad x\quad(x\in[-1,1])\text{ 导数}$

反函数：$x=\sin y\quad y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$

函数的导数：$\frac{dy}{dx}=(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{\log}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

1.3 复合函数求导法则

定理 3：链式法则

设 $u=g(x)$ 在 $x$ 可导，$y=f(u)$ 在对应 $u$ 处可导，则 $y=f[g(x)]$ 在 x 处可导。

• 则： $\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)$
• 其他形式：
• $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

例题：$y=2\cos^2\frac1x$

使用链式法则： $y=2u^{2},u=\cos v,v=\frac{1}{-x^2}$

• $\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=4u\cdot(-\sin v)(-\frac1{x^2})\\&=4\end{aligned}$

注意：求函数值时，是从里到外；但求导数时，是从外到里，一直求到对 x 求导；

结论：奇函数、偶函数求导之后，导函数的奇偶性发生反转；

• 奇函数的导函数：偶函数；
• 偶函数的导函数：奇函数；

1.4 求导结论

基本初等函数

• 基本
• $\begin{aligned}&\quad(C)^{\prime}=0\quad&\quad(x^\alpha)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}\\&\quad(a^x)^{\prime}=a^x\ln a\quad&\quad(e^x)^{\prime}=e^x\\&\quad(\log_ax)^{\prime}=\frac1{x\ln a}\quad&\quad(\ln|x|)^{\prime}=\frac1x\end{aligned}$
• 三角函数
• $(\sin x)^{\prime}=\cos x\quad\quad\quad\quad\quad(\sin x)^{\prime}=-\cos x$
• $\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$
• 反函数导数
• $\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(\arctan x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$

1.5 对数求导法

例题引入

• $\text{设}y=\left(1+\sin x\right)^{x},\text{则}\mathrm{d}y|_{x=\pi}=$ __
• 幂指函数；
• 对数求导法：
• 先取对数：$\ln y=x\ln(1+\sin x)$
• 两边同时求导：$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln(s+\sin x)+\frac{xCosx}{1+\sin x}$
• 提出 $y^{\prime}$，得到导函数
• 带入 x=Π；

一个重要结论

• $(\ln|x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$
• $In$ 的加绝对值后的导数依然是 1/x；

对数求导法使用场合

• 1. 幂指型函数；
• 2. 连乘、连除、乘法、开方；